Giả sử a ≤ b ≤ c

⇒ ab + bc + ca ≤ 3bc.

Theo giả thiết abc < ab+ bc + ca (1) nên abc < 3bc

⇒a<3 mà a là số nguyên tố nên a = 2.

Thay a = 2 vào (1) được 2bc<2b+2c+bc

⇒bc<2(b+c) (2)

Vì b ≤ c⇒ bc < 4c ⇒ b < 4.

Vì b là số nguyên tố nên b = 2 hoặc b = 3.

Với b = 2 thay vào (2) được 2c < 4 + 2c đúng với mọi c là số nguyên tùy ý.

Với b = 3 thay vào (2) được c < 6 nên c = 3 hoặc c = 5

            Vậy (2; 2; c), (2; 3; 3), (2; 3; 5) với c là số nguyên tố tùy ý

Phạm Tuấn Kiệt coppy

Giả sử a ≤ b ≤ c

⇒ ab + bc + ca ≤ 3bc.

Theo giả thiết abc < ab+ bc + ca (1) nên abc < 3bc

⇒a<3 mà a là số nguyên tố nên a = 2.

Thay a = 2 vào (1) được 2bc<2b+2c+bc

⇒bc<2(b+c) (2)

Vì b ≤ c⇒ bc < 4c ⇒ b < 4.

Vì b là số nguyên tố nên b = 2 hoặc b = 3.

Với b = 2 thay vào (2) được 2c < 4 + 2c đúng với mọi c là số nguyên tùy ý.

Với b = 3 thay vào (2) được c < 6 nên c = 3 hoặc c = 5

            Vậy (2; 2; c), (2; 3; 3), (2; 3; 5) với c là số nguyên tố tùy ý

Phạm Tuấn Kiệt copy

Giả sử a≤b≤c⇒ab+bc+ca≤3bc.

Theo giả thiết abc<ab+bc+ca (1)

nên abc<3bc⇒a<3 mà a là số nguyên tố nên a = 2.

Thay a = 2 vào (1) được 2bc<2b+2c+bc⇒bc<2(b+c) (2)

Vì b≤c⇒bc<4c⇒b<4.

Vì b là số nguyên tố nên b = 2 hoặc b = 3.

Với b = 2 thay vào (2) được 2c < 4 + 2c đúng với mọi c là số nguyên tùy ý.

Với b = 3 thay vào (2) được c < 6 nên c = 3 hoặc c = 5

            Vậy (2; 2; c), (2; 3; 3), (2; 3; 5) với c là số nguyên tố tùy 

Giả sử  \(2\le c\le b\le a\)   (1)

Từ abc < ab + bc + ca chia 2 vế cho abc ta được :

\(1< \frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\)   (2)

Từ (1) ta có :

\(\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\le\frac{3}{c}\)  nên   \(1< \frac{3}{c}\Rightarrow c< 3\Rightarrow c=2\)

Thay c = 2 vào (2) ta có :

\(\frac{1}{2}< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le\frac{2}{b}\Rightarrow b\le4\)

Vì b là số nguyên tố nên \(\orbr{\begin{cases}b=2\\b=3\end{cases}}\)

Với \(b=2\Rightarrow\frac{1}{2}< \frac{1}{a}+\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{a}>0\) đúng với mọi số nguyên tố a 

Với  \(b=3\Rightarrow\frac{1}{2}< \frac{1}{a}+\frac{1}{3}\Rightarrow\frac{1}{a}>\frac{1}{6}\Rightarrow a< 6\)

Mà a là số nguyên tố nên \(\orbr{\begin{cases}a=3\\a=5\end{cases}}\)

Vậy ( a ; b ; c ) = ( 5 ; 3 ; 2 ) ; ( 3 ; 3 ; 2 ) ; ( a ; 2 ; 2 ) với a là số nguyên tố bất kì

KHông mất tính tổng quát: g/s: \(a\ge b\ge c\)

=> \(ab+bc+ac\le ab+ba+ab=3ab\)

Theo đề bài: \(abc< ab+bc+ac\)

=> \(abc< 3ab\Leftrightarrow c< 3\)

mà c là số nguyên tố => c = 2

=> \(2ab< ab+2b+2a\)

=> \(ab< 2\left(a+b\right)\)mặt khác \(a\ge b\)

=> \(ab< 2\left(a+a\right)\Leftrightarrow ab< 4a\Leftrightarrow b< 4\)

Ta có b là số nguyên tố => b = 2 hoặc b = 3

Với b = 2 => \(4a< 2a+4+2a\)=> 0 < 4 luôn đúng với mọi a

Với b = 3 => \(6a< 3a+6+2a\)=> a < 6 . Vì a là số nguyên tố  lớn hơn  hoặc bằng b =>  a = 3 hoặc a = 5

Vậy có các bộ số : ( a; 2; 2) với a nguyên tố bất kì; ( 3; 3; 2) ; ( 5; 3; 2) Và các hoán vị

Ta có a;b;c có vai trò như nhau nên ta giả sử a<b<c

=>ab+bc+ca<3bc

từ giả thiết abc<ab+bc+ca (*) =>abc<3bc=>a<3,mà a nguyên tố nên a chỉ có thể là 2

thay a vào (*) =>2bc<2b+2c+bc<=>bc<2(b+c)(**)

Mà b<c =>bc<4c=>b<4,mà b nguyên tố nên b E {2;3}

+)b=2,thay vào (**) =>2c<4+2c(đúng với c là số nguyên tố tùy ý)

+)b=2,thay vào (**) =>3c<6+2c=>c<6,mà c nguyên tố =>c E {3;5} đều thỏa mãn

Vậy (a;b;c) \(\in\left\{\left(2;2;c\right);\left(2;3;3\right);\left(2;3;5\right)\right\}\) (với c là số nguyên tố tùy ý)

Giả sử : \(2\le c\le b\le a\)        (1)

Lại có : a.b.c < a.b + b.c + c.a \(\Rightarrow1< \frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\)               (2)

Từ (1) ta có: \(\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\le\frac{3}{c}\Rightarrow1< \frac{3}{c}\Rightarrow c< 3\Leftrightarrow c=2\)

Thay c = 2 vào (2) ta được :

\(\frac{1}{2}< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le\frac{2}{b}\Rightarrow b\le4\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=2\\b=3\end{cases}}\)

- Với b = 2 , ta có : \(\frac{1}{2}< \frac{1}{a}+\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{2}>0\)(đúng với mọi số nguyên tố a)

- Với b = 3 , ta có : \(\frac{1}{2}< \frac{1}{a}+\frac{1}{3}\Rightarrow\frac{1}{a}>\frac{1}{6}\Rightarrow a< 6\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=3\\a=5\end{cases}}\)

Vậy (a;b;c) = (5;3;2) ; (3;3;2) ; (2;2;a) (a là số nguyên tố bất kì)

Giả sử a≤b≤c⇒ab+bc+ca≤3bca≤b≤c⇒ab+bc+ca≤3bc. Theo giả thiết abc<ab+bc+caabc<ab+bc+ca (1) nên abc<3bc⇒a<3abc<3bc⇒a<3 mà a là số nguyên tố nên a = 2. Thay a = 2 vào (1) được 2bc<2b+2c+bc⇒bc<2(b+c)2bc<2b+2c+bc⇒bc<2(b+c) (2)

Vì b≤c⇒bc<4c⇒b<4b≤c⇒bc<4c⇒b<4. Vì b là số nguyên tố nên b = 2 hoặc b = 3. Với b = 2 thay vào (2) được 2c < 4 + 2c đúng với mọi c là số nguyên tùy ý. Với b = 3 thay vào (2) được c < 6 nên c = 3 hoặc c = 5

            Vậy (2; 2; c), (2; 3; 3), (2; 3; 5) với c là số nguyên tố tùy ý

Vì a, b, c có vai trũ như nhau nên giả sử  a   ≤ b   ≤ c  khi đó

 ( Vì a là số nguyên tố )

Với a = 2 ta có

-    Nếu b = 2 thì 4c < 2 + 4c  thoả món với c là nguyên tố bất kỡ

-  Nếu b = 3 thì 6c < 6b + 5c suy ra c < 6 vậy c = 3 hoặc c = 5

Vậy các cạp số (a, b, c) càn Tìm là (2, 2, p) ; (2, 3, 3 ) ; (2, 3, 5 ) và các hoán vị vủa chúng , với p là số nguyên tố .

cai gi the