Dảnh àk =))

Cứ đăng đi - úng hộ ^^

Đặt  \(u=\frac{x}{a};\)  và  \(v=\frac{y}{b}\)  \(\Rightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}u,v\in Z\\u+v=1\\uv=-2\end{cases}}\)

Khi đó, ta có:

\(u+v=1\)

nên  \(\left(u+v\right)^3=1\)  \(\Leftrightarrow\)  \(u^3+v^3+3uv\left(u+v\right)=1\)

Do đó,  \(u^3+v^3=1-3uv\left(u+v\right)=1+6=7\)

Vậy,  \(\frac{x^3}{a^3}+\frac{y^3}{b^3}=7\)

\(ĐK:\)  \(a,b,c\ne0\)

Ta có: 

\(a+b+c=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(a+b=-c\)

\(\Rightarrow\)  \(\left(a+b\right)^2=\left(-c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(a^2+b^2+2ab=c^2\)

nên    \(a^2+b^2-c^2=-2ab\)

Tương tự với vòng hoán vị  \(b\rightarrow c\rightarrow a\)  ta cũng suy ra được:

\(\hept{\begin{cases}b^2+c^2-a^2=-2bc\\c^2+a^2-b^2=-2ca\end{cases}}\)

Khi đó, biểu thức  \(P\)  được viết lại dưới dạng:

\(P=-\frac{1}{2bc}-\frac{1}{2ca}-\frac{1}{2ab}=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=-\frac{1}{2}\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)=0\) (do \(a,b,c\ne0\)  )

1. Ta có: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)

\(\Rightarrow\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)^3=1\)

\(\Rightarrow\left(\frac{x}{a}\right)^3+3.\frac{x}{a}.\frac{y}{b}\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)+\left(\frac{y}{b}\right)^3=1\)

\(\Rightarrow\left(\frac{x}{a}\right)^3+\left(\frac{y}{b}\right)^3+3.\left(-2\right).1=1\)

\(\Rightarrow\left(\frac{x}{a}\right)^3+\left(\frac{y}{b}\right)^3=1+6=7\)

2.Do \(a+b+c=0\)

Ta có:

\(b^2+c^2-a^2=b^2+c^2+2bc-a^2-2bc\)

                         \(=\left(b+c\right)^2-a^2-2bc\)

                         \(=\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)-2bc=-2bc\)

CM tương tự: \(a^2+b^2-c^2=-2ab\)

                    \(c^2+a^2-b^2=-2ca\)

Vậy \(P=\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ca}+\frac{1}{-2ab}=\frac{a+b+c}{-2abc}=0\)

3.

a)Ta có : \(x^2+y^2=1\Rightarrow x^4+2x^2y^2+y^4=1\Rightarrow x^4+y^4=1-2x^2y^2\)

Ta có :

\(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{1}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{bx^4+ay^4}{ab}=\frac{1}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(bx^4+ay^4\right)=ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(bx^4+ay^4\right)-ab=0\)

\(\Leftrightarrow abx^4+a^2y^4+b^2x^4+aby^4-ab=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay^2\right)^2+\left(bx^2\right)^2+ab\left(x^4+y^4\right)-ab=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay^2\right)^2+\left(bx^2\right)^2+ab-2abx^2y^2-ab=0\)(Do \(x^4+y^4=1-2x^2y^2\))

\(\Leftrightarrow\left(ay^2-bx^2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow ay^2=bx^2\)

b) Ta có : \(x^2+y^2=1\Rightarrow-x^2=y^2-1\)

Xét \(ay^2\left(a+b\right)-ab\)

\(\Leftrightarrow\left(ay\right)^2+aby^2-ab\)

\(\Leftrightarrow\left(ay\right)^2-abx^2\)

\(\Leftrightarrow a\left(ay^2-bx^2\right)=0\)(Do \(ay^2=bx^2\))

\(\Rightarrow ay^2\left(a+b\right)-ab=0\)

\(\Rightarrow ay^2\left(a+b\right)=ab\)

\(\Rightarrow\frac{ay^2}{ab}=\frac{1}{a+b}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(ay^2\right)^{1004}}{\left(ab\right)^{1004}}=\frac{1}{\left(a+b\right)^{1004}}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(ay^2\right)^{1004}+\left(bx^2\right)^{1004}}{\left(ab\right)^{1004}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1004}}\)

\(\Rightarrow\frac{x^{2008}}{a^{1004}}+\frac{y^{2008}}{b^{1004}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1004}}\)

Ta chứng minh BĐT sau với các số dương:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

Thật vậy, BĐT tương đương: \(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ; \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\) ; \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)

b.

Ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Rightarrow\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}\ge\dfrac{12}{a+b}\) (1)

\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\Rightarrow\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{8}{b+c}\) (2)

\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\) (3)

Cộng vế với vế (1); (2) và (3):

\(\dfrac{4}{a}+\dfrac{5}{b}+\dfrac{3}{c}\ge4\left(\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Câu 3: 

a: \(G=\dfrac{a^2}{b\left(a+b\right)}-\dfrac{b^2}{a\left(a-b\right)}+\dfrac{-\left(a^2+b^2\right)}{ab}\)

\(=\dfrac{a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a+b\right)-\left(a^2+b^2\right)\left(a^2-b^2\right)}{ab\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\)

\(=\dfrac{a^4-a^3b-ab^3-b^4-a^4+b^4}{ab\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\)

\(=\dfrac{-ab\left(a^2+b^2\right)}{ab\left(a-b\right)\left(a+b\right)}=\dfrac{-a^2-b^2}{a^2-b^2}\)

b: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+1}{b+5}\)

nên ab+5a=ab+b

=>5a=b

\(G=\dfrac{-a^2-\left(5a\right)^2}{a^2-\left(5a\right)^2}=\dfrac{-a^2-25a^2}{a^2-25a^2}=\dfrac{-26}{-24}=\dfrac{13}{12}\)

Làm tạm một câu rồi đi chơi, lát làm cho.

4)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :

\(VT\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1}=9\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

2/ Cô: \(\frac{2a}{b}+\frac{b}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{a.a.b}{b.b.c}}=3\sqrt[3]{\frac{a^3}{abc}}=\frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}\)

Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế thu được:

\(3.VT\ge3.VP\Rightarrow VT\ge VP^{\left(Đpcm\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b= c

1. a + b + c = 0 \(\Rightarrow\)a + b = -c \(\Rightarrow\)( a + b )² = ( -c )² \(\Rightarrow\)a² + b² - c² = -2ab

Tương tự : b² + c² - a2 = -2bc ; c² + a² - b² = -2ac

Ta có : \(\frac{1}{a^2+b^2-c^2}+\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}\)

\(=\frac{1}{-2ab}+\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ac}=\frac{-1}{2}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)\)

\(=\frac{-1}{2}\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)=0\)

2. tương tự

3,4 . có ở dưới, câu hỏi của Quyết Tâm chiến thắng