Ta có : Căn 29 + căn 3 + căn 2003 = 51,87210362 > 50

=> Căn 29 + căn 3 + căn 2003 > 50

HỌC TỐT !

\(\text{Ta có :}\)

\(\sqrt{29}>\sqrt{25}=5\)

\(\sqrt{3}>\sqrt{1}=1\)

\(\sqrt{2003}>\sqrt{1936}=44\)

\(\Rightarrow\sqrt{29}+\sqrt{3}+\sqrt{2003}>1+5+44=50\)

\(\text{Vậy:}\)\(\sqrt{29}+\sqrt{3}+\sqrt{2003}>50\)

\(8=\sqrt{64}\)

vì 64>63

8>căn 63

\(13=\sqrt{169}\)

vì 170>169

căn 170 > 13

\(15=\sqrt{225}\)

vì 225<227

15 < căn 227

1: \(8^2=64=22+32=22+2\cdot16=22+2\cdot\sqrt{256}\)

\(\left(\sqrt{8}+\sqrt{14}\right)^2=22+2\cdot\sqrt{112}\)

mà \(16>\sqrt{112}\)

nên 8^2>(căn 8+căn 14)^2

=>8>căn 8+căn 14

2: \(\left(2+\sqrt{3}\right)^2=7+4\sqrt{3}\)

\(\left(3+\sqrt{2}\right)^2=11+6\sqrt{2}\)

mà 7<11 và 4căn 3<6căn 2(48<72)

nên (2+căn 3)^2<(3+căn 2)^2

=>2+căn 3<3+căn 2

 Ta đặt \(f\left(n\right)=\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+...+\sqrt{4}}}}\) (\(n\) dấu căn)

 Xét phương trình \(x^2-x-4=0\), pt này có nghiệm \(t=\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}< 3\). Ta sẽ chứng minh \(f\left(n\right)< t,\forall n\inℕ^∗\)

 Dễ thấy \(f\left(1\right)< t\). Giả sử \(f\left(n\right)< t\). Khi đó:

 \(f\left(n+1\right)=\sqrt{4+f\left(n\right)}< \sqrt{4+t}\).

 Mà \(4+t=t^2\)  (do \(t\) là nghiệm của pt \(x^2-x-4=0\)) nên suy ra \(f\left(n+1\right)< \sqrt{4+t}=\sqrt{t^2}=t\).

 Vậy \(f\left(n+1\right)< t\). Theo nguyên lí quy nạp \(\Rightarrow f\left(n\right)< t,\forall n\inℕ^∗\)

 Mà \(t< 3\) \(\Rightarrow f\left(n\right)< 3\), \(\forall n\inℕ^∗\). 

 Vậy \(\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+...+\sqrt{4}}}}< 3\) 

2³⁰+3³⁰+4³⁰ < 3.32¹⁰

<

2³⁰+3³⁰+4³⁰ và 3.32¹⁰

1,153< 3,378