Gọi ước chung lớn nhất của 2n + 1 và 4n + 3 là d 

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\4n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

         ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(2n+1\right)⋮d\\4n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

        ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}4n+2⋮d\\4n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

         Trừ vế cho vế ta có: 4n + 3 - ( 4n + 2) ⋮ d

              ⇒ 4n + 3 - 4n - 2 ⋮ d

             ⇒ 1 ⋮ d ⇒ d = 1

Vậy ước chung lớn nhất của 2n + 1 và 4n + 3 là 1 hay phân số:

       \(\dfrac{2n+1}{4n+3}\) là phân số tối giản ( đpcm)

Gọi d là ước chung nguyên tố của 2n + 3 và 4n + 1

⇒⎧⎩⎨2n+3⋮d4n+1⋮d

+) Vì : 2n+3⋮d;2∈N2n+3⋮d;2∈N

⇒2(2n+3)⋮d⇒4n+6⋮d⇒2(2n+3)⋮d⇒4n+6⋮d

Mà : 4n+1⋮d4n+1⋮d

⇒(4n+6)−(4n+1)⋮d⇒(4n+6)−(4n+1)⋮d

⇒4n+6−4n−1⋮d⇒5⋮d⇒4n+6−4n−1⋮d⇒5⋮d

⇒⇒ d là ước của 5 ; d nguyên tố

⇒d=5⇒d=5

Với d=5⇒4n+1⋮5d=5⇒4n+1⋮5

⇒5n−n+1⋮5⇒5n−(n−1)⋮5⇒5n−n+1⋮5⇒5n−(n−1)⋮5

Vì : n∈N⇒5n⋮5n∈N⇒5n⋮5

⇒n−1⋮5⇒n−1=5k⇒n=5k+1⇒n−1⋮5⇒n−1=5k⇒n=5k+1

Thử lại : n = 5k + 1 ( k∈Nk∈N)

2n+3=2(5k+1)+3=10k+5=5(2k+1)⋮52n+3=2(5k+1)+3=10k+5=5(2k+1)⋮5

4n+1=4(5k+1)+1=20k+5=5(4k+1)⋮54n+1=4(5k+1)+1=20k+5=5(4k+1)⋮5

⇒⇒ Với n = 5k + 1 thì phân số trên rút gọn được

⇒n≠5k+1⇒n≠5k+1 thì phân số trên tối giản

Vậy n≠5k+1

a. Muốn phân số n+1/2n+3 tối giản thì n+1 và 2n+3 có ƯCLN=1

Giả sử n+1 và 2n+3 có ước là a

=>n+1 chia hết cho a và 2n+3 chia hết cho

=>2(n+1) chia hết cho a và 2n+3 chia hết cho a

=>2n+2 chia hết cho a và 2n+3 chia hết cho a

=>(2n+3)-(2n+2) chia hết cho a

=> 1 chia hết cho a hay a thuộc Ư(1) = {1}

Vậy phân số n+1/2n+3 tối giản

Bây giờ mk bận, tối về giải tiếp nhé

 Gọi UWCLN(2n+1;4n²+1) = d : (n thuộc N)

Suy ra : 2n + 1 chia hết cho d , do đó 2n(2n+1)chia hết cho d

                                                     hay 4n² + 2n chia hết cho d

Áp dụng tính chất chia hết của 1 hiệu 

  4n² + 2n - (2n + 1) chia hết cho d

Theo bài ra 4n² + 1 chia hết cho d . Áp dụng tính chất chia hết của 1 hiệu , ta được

4n² - 1 - (4n² -1) chia hết cho d

4n² - 4n² + 1 chia hết cho d

  2 chia hết cho d

Suy ra : d = {1;2}

Vì 2n + 1 và 4n² + 1 là các số lẻ nên d=1

                         Vậy 2n+1 là các số tối giản với mọi số tự nhiên n

Gọi Ư(n+1;2n+3) = d ( \(d\in\)N*) 

\(n+1=2n+2\left(1\right);2n+3\left(2\right)\)

Lấy (2 ) - (1) ta được : \(2n+3-2n+2=1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy ta có đpcm 

Gọi Ư\(\left(3n+2;5n+3\right)=d\)( d \(\in\)N*)

\(3n+2=15n+10\left(1\right);5n+3=15n+9\left(2\right)\)

Lấy (!) - (2) ta được : \(15n+10-15n-9=1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy ta có đpcm 

a) Gọi \(d\) là UCLN \(\left(n+1,2n+3\right)\left(d\in N\right)\)

Ta có : \(\left[{}\begin{matrix}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2n+3-\left(2n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\left(đpcm\right)\)

b) Gọi \(d\) là \(UCLN\left(2n+3,4n+8\right)\left(d\in N\right)\)

Ta có : \(\left[{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4n+8-\left(4n+6\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)

Mà 2n+3 là số lẻ nên

\(\Rightarrow d=1\left(đpcm\right)\)

c) Gọi \(d\) là \(UCLN\left(3n+2;5n+3\right)\left(d\in N\right)\)

Ta có : \(\left[{}\begin{matrix}3n+2⋮d\\5n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}15n+10⋮d\\15n+9⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow15n+10-\left(15n+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\left(đpcm\right)\)

Gọi ƯCLN(2n+3.4n+8) là d (d E N)

Ta có: 2n+3 chia hết cho d => 2(2n+3) chia hết cho d => 4n+6 chia hết cho d

          4n+8 chia hết cho d

=> 4n+8-(4n+6) chia hết cho d

=> 4n+8-4n-6 chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

=> d E {1;2}

Vì 2n+3 là số lẻ, 4n+8 là số chẵn => d = 1

=> ƯCLN(2n+3,4n+8)=1

Vậy phân số \(\frac{2n+3}{4n+8}\)  là phân số tối giảm (đpcm)

Gọi ƯCLN(2n+3.4n+8) là d (d E N)
Ta có: 2n+3 chia hết cho d => 2(2n+3) chia hết cho d => 4n+6 chia hết cho d
          4n+8 chia hết cho d
=> 4n+8-(4n+6) chia hết cho d
=> 4n+8-4n-6 chia hết cho d
=> 2 chia hết cho d
=> d E {1;2}
Vì 2n+3 là số lẻ, 4n+8 là số chẵn => d = 1
=> ƯCLN(2n+3,4n+8)=1
Vậy phân số \(\frac{2n+3}{4n+8}\)  là phân số tối giảm (đpcm)

:D

Gọi d là ƯCLN của 2n+3 và 4n+8, ta có:
(4n+8)-(2n+3) chia hết cho d
4n+8-2(2n+3) chia hết cho d
4n+8-4n-6 chia hết cho d
4n-4n+8-6 chia hết cho d
2 chia hết cho d => d=2
nhưng vì 2n+3 lẻ nên d là số lẻ => d=1
vậy 2n+3/4n+8 là 2 phân số tối giản