2011ⁿ có chữ số tận cùng là 1 => 2011ⁿ là số lẻ

2013ⁿ có tận cùng là 9 ; 7 ; 1 ;3 => 2013ⁿ là số lẻ

2012ⁿ có tận cùng chẵn            => 2012ⁿ là số chẵn

do đó tổng 3 số đã cho sẽ là : lẻ + lẻ + chẵn = chẵn ( luân chia hết cho 2 với mọi n thuộc N*) => ĐPCM

ĐPCM là gì vậy nhỉ?

Ta có 3 trường hợp:

+ n chia hết cho 3

+ n chia 3 dư 1

+ n chia 3 dư 2

~ Với trường hợp n chia hết cho 3, ta có:

n^2 chia hết cho 3

n chia hết cho 3

2012 không chia hết cho 3

=> n^2 + n +2012 không chia hết cho 3 (1)

~ Với trường hợp n chia 3 dư 1, ta có:

n^2 chia 3 dư 1

n chia 3 dư 1

2012 chia 3 dư 2

=> n^2+n+2012 không chia hết cho 3 (2)

~ Với trường hợp n chia 3 dư 2, ta có:

n^2 chia 3 dư 1

n chia 3 dư 2

2012 chia 3 dư 2

=>  n^2+n+2012 không chia hết cho 3 (3)

Từ (1); (2); (3) ta đc điều cần chứng minh

Nếu n=3k(k thuộc Z)

thì BT trên=(3k)²+3k+2012=(3k)(3k+1)+2012 ko chia hết cho 3

Nếu n=3k+1(k thuộc Z)

thì BT trên=(3k+1)²+(3k+1)+2012=(3k+1)(3k+2)+2012 ko chia hết cho 3

Nếu n=3k+2(k thuộc Z)

thì BT trên=(3k+2)²+(3k+2)+(3*670+2)=(3k+2)(3k+3)+2010+2 không chia hết cho 3

Vậy với mọi n nguyên thì n²+n+2012 ko chia hết cho 3

Đặt \(A=\left(n+2012^{2013}\right)+\left(n+2013^{2012}\right)\)
\(A=2n+\left(2012^4\right)^{503}.2012+\left(2013^4\right)^{503}\)

\(A=2n+\left(...6\right)+\left(...1\right)\)

Ta có : 2n là số chẵn

\(2012^{2013}\) là số chẵn

\(2013^{2012}\) là số lẻ

\(=>A=2n+2012^{2013}+2013^{2012}\) là số lẻ

Vì A là số lẻ => \(\left(n+2013^{2012}\right);\left(n+2012^{2013}\right)\) sẽ có 1 số chẵn và 1 số lẻ

=> \(\left(n+2012^{2013}\right)\left(n+2013^{2012}\right)\) là số chẵn nên chia hết cho 2 ( đpcm )

2011ⁿ luôn lẻ

2012ⁿ luôn chẵn

2013ⁿ luôn lẻ

=> 2011ⁿ + 2012ⁿ + 2013ⁿ luôn chẵn

=> Chia hết cho 2

=> ĐPCM 

vì n+2012 và n+2013 là 2 số tự nhiên liên tiếp

mà 2 số tự nhiên liên tiếp nhân với nhau có tận cùng là chữ số chắn

=> chia hết cho 2