Trong một lớp học có ít nhất hai bạn quen nhau. Biết rằng nếu hai bạn có cùng một số lượng người quen thì không có người quen chung. Chứng minh rằng trong lớp có bạn chỉ quen đúng một người.

Trong một cuộc thi chung kết học sinh giỏi của 5 học sinh. Ban giám khảo nhận thấy, cứ trong 3 bạn học sinh bất kỳ thì có hai người quen nhau và hai người không quen nhau. Chứng minh rằng trong 5 học sinh đó, có 1 bạn học sinh quen đúng 2 bạn trong nhóm
 

Trong buổi gặp mặt hai lớp 7A và 7B, người ta thấy
 Không có ai ở lớp 7A quen với mọi người ở lớp 7B.
 Mỗi người của lớp 7B đều quen với ít nhất một người trong lớp 7A.
Nêu cách chọn ra một nhóm bốn bạn, mỗi lớp có hai bạn và mỗi bạn chỉ quen với đúng một bạn của lớp kia (chỉ xét trong nhóm bốn bạn này).

Lớp 6A có 27 bạn trong đó các bạn quen biết nhau hoặc không quen biết nhau. Chứng minh bao giờ cũng tìm được hai bạn học sinh có số người quen trong lớp là như nhau

trong 1 cuộc thi chung kết học sinh giỏi của 5 học sinh. Ban giám khảo nhận thấy, cứ trong 3 học sinh bất kì thì có 2 người quen nhau và 2 người không quen nhau. Hãy chứng tỏ rằng: trong 5 học sinh đó, 1 bạn học sinh quen đúng 2 bạn trong nhóm

Một nhóm học sinh gồm 35 người chơi ở công viên trong đó có những người quen nhau và những người không quen nhau. Chứng minh rằng có ít nhất một người có số người quen trong nhóm là số chẵn.

Trong một buổi họp mặt giữa hai lớp 8A và 8B, có tất cả 50 học sinh tham gia. Các bạn lớp 8B tính số người quen ở lớp 8A và thấy rằng bạn Anh quen 11 bạn, bạn Bắc quen 12 bạn, bạn Châu quen 13 bạn,…và cứ như vậy đến bạn cuối cùng là bạn Yến quen tất cả các bạn của lớp 8A. Tính số học sinh mỗi lớp tham gia họp mặt.

Có 8 bạn chơi chung với nhau. Biết rằng trong bất cứ nhóm 3 người nào  của 8 bạn đó cũng có 1 người quen với 2 người kia,. Chứng minh rằng có thể xếp họ đi chơi trên 4 xe, mỗi xe 2 người quen nhau.