Vì M là giao điểm của đường trung trực A và C

=> M là tâm đường thẳng ngoại tiếp tam giác ABC

=> MA = MB = MC

Vì MA = MC

=> M nằm trên đường thẳng đi qua AC

OA = OC

=> O nằm trên đường thẳng đi qua AC

=> OM là đường trung trực của AC

OM cắt AC tại P

Vậy đường thẳng MO đi qua điểm chính giữa AC

a) Dễ có tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn (BC). Suy ra ^BPQ = ^AFE = ^ECB = ^BCQ

Vậy tứ giác BPCQ nội tiếp (Quỹ tích cung chứa góc) (đpcm).

b) Có ^BPQ = ^BCQ = ^BFD (cmt) hay ^DPF = ^DFP. Vậy \(\Delta\)DPF cân tại D (đpcm).

c) Dễ thấy NE là tiếp tuyến của (AEF), suy ra ^NEF = ^EAF = ^BDF = 180⁰ - ^FDN

Suy ra tứ giác DFEN nội tiếp. Khi đó \(\Delta\)MFD ~ \(\Delta\)MNE (g.g). Vậy MF.ME = MD.MN (đpcm).

d) Ta thấy ^FDB = ^EDC (=^BAC); ^DNE = ^DFM (Vì tứ giác DFEN nội tiếp)

Do đó \(\Delta\)DEN ~ \(\Delta\)DMF (g.g). Từ đây DN.DM = DE.DF (1)

Từ câu b, ta có \(\Delta\)DPF cân tại D (DF = DP). Tương tự DE= DQ (2)

Từ (1) và (2) suy ra DN.DM = DP.DQ dẫn đến \(\Delta\)DPM ~ \(\Delta\)DNQ (c.g.c)

Suy ra 4 điểm M,P,Q,N cùng thuộc một đường tròn hay (MPQ) đi qua N cố định (đpcm).

1) Xét (O):

MA là tiếp tuyến (\(d_1\) là tiếp tuyến; \(M,A\in d_1\)).

\(\Rightarrow MA\perp AB.\Rightarrow\widehat{MAB}=90^o.\)

hay \(\widehat{MAI}=90^o.\)

Xét tứ giác AMEI:

\(\widehat{MAI}+\widehat{MEI}=90^o+90^o=180^o.\)

Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau.

\(\Rightarrow\) Tứ giác AMEI nội tiếp đường tròn.

2) Ta có: 

I là trung điểm của OA (gt).

\(\Rightarrow IA=\dfrac{1}{2}OA=\dfrac{1}{2}R.\)

Mà \(R=\dfrac{1}{2}AB\left(AB=2R\right).\)

\(\Rightarrow IA=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{4}AB.\)

Mà \(IB=AB-\dfrac{1}{4}AB=\dfrac{3}{4}AB.\)

\(\Rightarrow IB=3IA.\)

Xét (O):

\(\widehat{EBN}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{EB}\) (Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây).

\(\widehat{EAB}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{EB}\) (Góc nội tiếp).

\(\Rightarrow\widehat{EBN}=\widehat{EAB}.\)

hay \(\widehat{EBN}=\widehat{EAI}.\)

Ta có: \(EI\perp EN\left(gt\right).\Rightarrow\widehat{IEN}=90^o.\)

\(\Rightarrow\widehat{IEB}+\widehat{BEN}=90^o.\) (1)

Xét (O):

AB là đường kính (gt).

\(E\in\left(O\right)\left(gt\right).\)

\(\Rightarrow\widehat{AEB}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\(\Rightarrow\widehat{AEI}+\widehat{IEB}=90^o.\) (2)

Tứ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{AEI}=\widehat{BEN}.\)

Xét \(\Delta AEI\) và \(\Delta BEN:\)

\(\widehat{AEI}=\widehat{BEN}\left(cmt\right).\)

\(\widehat{EAI}=\widehat{EBN}\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow\Delta AEI\sim\Delta BEN\left(g-g\right).\)

\(\Rightarrow\dfrac{EI}{EN}=\dfrac{AI}{BN}\) (2 cạnh tương ứng tỉ lệ).

\(\Rightarrow EI.BN=AI.EN.\\ \Rightarrow3EI.BN=3AI.EN.\\ \Rightarrow3EI.BN=IB.EN.\)