TH1:Nếu x>0

nếu y\(\ne\)0, ta có: \(VT>2012.1^{2015}+2013.1^{2018}>2015\)

nếu y=0, ta có : nếu x=1, VT=2012<2015

                        nếu x>1, \(VT>2012.2^{2015}+2013.0^{2018}>2015\)

TH2: nếu x=0, pt vô nghiệm

TH3: nếu x<0, ta có: \(2013y^{2018}+2012x^{2015}=2012\left(y^{2018}-x^{2015}\right)+y^{2018}\)

ta thấy x<0 nên VT>2012.(1+1)+1>2015

Vậy pt trên không có nghiệm nguyên

\(xy=\frac{13}{15}\)

\(yz=\frac{1}{3}\)

\(zx=\frac{3}{13}\)

\(\Rightarrow\left(xyz\right)^2=\frac{13}{15}.\frac{1}{3}.\frac{3}{13}=\frac{1}{15}=\frac{1^2}{\left(\sqrt{15}\right)^2}\)

Vì x ; y ; z là các số hữu tỉ nên ( xyz)² là số hữu tỉ, ta chỉ cần chứng minh \(\sqrt{15}\) không phải số hữu tỉ mà là số vô tỉ.

Giả sử \(\sqrt{15}\) là số hữu tỉ thì coi \(\sqrt{15}=\frac{m}{n}\)( \(\frac{m}{n}\) phải là phân số tối giản)

\(\Rightarrow15=\frac{m^2}{n^2}\)

\(\Rightarrow15n^2=m^2\)

\(\Rightarrow m^2\)chia hết cho 15 = 3 x 5; 3 và 5 là các số nguyên tố nên \(m\) chia hết cho 15.

Đặt \(m=15k\left(k\in Z;k\ne0\right)\)

\(\Rightarrow m^2=\left(15k\right)^2=225k^2\)

\(\Rightarrow15n^2=m^2=225k^2\)

\(\Rightarrow n^2=\frac{225k^2}{15}=15k^2\)

\(\Rightarrow n^2\)chia hết cho 15

\(\Rightarrow n\)chia hết cho 15

Xét phân số \(\frac{m}{n}\)có m và n đều chia hết cho 15 nên không phải phân số tối giản, trái với đề bài. Do đó \(\sqrt{15}\) không phải số hữu tỉ.

Do đó không tồn tại 3 số hữu tỉ x ; y ; z thỏa mãn đề bài.

\(x^2+2y^2-2xy+x-2y+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+x-y+\dfrac{1}{4}+y^2-y+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+2.\dfrac{1}{2}\left(x-y\right)+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+y^2-2.\dfrac{1}{2}y+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}=0\)

Mà \(VT\ge\dfrac{1}{2}>0\Rightarrow VT>VP\)

\(\Rightarrow\)PT vô nghiệm(đpcm)