Ta có:

A=\(1+2+3+...+\left(n-1\right)+n+\left(n-1\right)+...+3+2+1\)

\(=2\left(1+2+3+...+\left(n-1\right)\right)+n\)

\(=2\left(\frac{\left(n-1\right)\cdot\left(n-1+1\right)}{2}\right)+n\)

\(=2\cdot\left(\frac{n\cdot\left(n-1\right)}{2}\right)+n\)

\(=n\left(n-1\right)+n=n\left(n-1+1\right)=n^2\)

Vậy \(\sqrt{A}=\sqrt{n^2}=n\)

Ta có :

A = 1 + 2 + 3 + ... + ( n - 1 ) + n + ( n - 1 ) + ... + 3 + 2 + 1

   = 2 ( 1 + 2 + 3 + ... + ( n - 1 ) + n

   = 2 ( n . ( n - 1 ) /2 ) + n

   = n ( n - 1 ) + n = n ( n - 1 + 1 ) = n²

Vậy \(\sqrt{A}=\sqrt{n^2}=n\)

Chứng minh đề bài sai

Ta có 

\(2^8+2=2\left(2^7+1\right)\)

=>\(A⋮2\)

A không chia hết cho 2 vì toàn bộ thừa số của A đều lẻ.

 t nghĩ đề là \(2^8+1\)

Đây này :

\(A=\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)...\left(2^{2n}+1\right)\)

\(=3.\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)....\left(2^{2n}+1\right)\)

\(=\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)....\left(2^{2n}+1\right)\)

\(=\left(2^4-1\right)\left(2^4+1\right).....\left(2^{2n}+1\right)\)

\(=\left(2^8-1\right).....\left(2^{2n}+1\right)\)

\(=2^{4n}-1\)không chia hết cho 2 

Sử dụng liên tục tính chất \(\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2\)để rút gọn ra số cuối cùng.

Ta lấy vế trái , chia thành 2 vế .

Vế 1 : tử = 1 ( giữa nguyên ) 

Vế 2 , mẫu = ..... ( ta sẽ chuyển từ mẫu này , như sau )

Áp dụng công thức tính dãy số , ta có ( khoảng cách : 1)

[(n - 1) : 1 + 1] . (n + 1) : 2 = n.(n + 1) : 2 

Bây giờ , chuyển lại vào phân số , ta có :

\(\frac{1}{1+2+3+.....+n}=\frac{1}{n.\left(n+1\right):2}=\frac{1}{1}:\frac{n\left(n+1\right)}{2}=\frac{1}{1}.\frac{2}{n\left(n+1\right)}=\frac{2}{n\left(n+1\right)}\)

Điều phải chứng minh 

Ta có\(\left(x+1\right)^{2n}⋮\left(n+1\right)\)(1)

\(\left(x+2\right)^n-1=\left(x+1\right)\left[\left(x+2\right)^{n-1}+\left(n+2\right)^{n-2}+...+1\right]\)

\(\Rightarrow\left(x+2\right)^n-1⋮\left(x+1\right)\)(2)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\left[\left(x+1\right)^{2n}+\left(x+2\right)^n-1\right]⋮\left(x+1\right)\)       (*)

Lại có\(\left(x+1\right)^{2n}-1\)

\(=\left[\left(x+1\right)^n+1\right]\left[\left(x+1\right)^n-1\right]\)

\(=\left[\left(x+1\right)^n-1\right]\left(x+2\right)\left[\left(x+1\right)^{n-1}-\left(x+1\right)^{n-2}+........+1\right]\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^{2n}-1⋮\left(x+2\right)\)

Mà \(\left(x+2\right)^n⋮\left(x+2\right)\)

\(\Rightarrow\left[\left(x+1\right)^{2n}+\left(x+2\right)^n-1\right]⋮\left(x+2\right)\)(**)

Ta lại có (x+1) và (x+2) nguyên tố cùng nhau (***)

Từ (*);(**) và(***) \(\Rightarrow\left[\left(x+1\right)^{2n}+\left(x+2\right)^n-1\right]⋮\left(x^2+3x+2\right)\)

Vì \(n\in Z^+\)nên\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)>n^3\Rightarrow\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}>n\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}>n\)(1)

Lại có:\(n^2+2n+1>n^2+2n\Rightarrow\left(n+1\right)^2>n\left(n+2\right)\Rightarrow\left(n+1\right)^3>n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(\Rightarrow n+1>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\\ \Rightarrow\sqrt[3]{n^3+3n^2+3n+1}>\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n+n+1}>\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{\left(n+1\right)^3}>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)

Tương tự \(\Rightarrow n+1>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}< n+1\)

\(n\in Z^+\)nên n² < n² + 2n < n² + 2n + 1 <=> n² < n(n + 2) < (n + 1)² => n³ < n(n + 1)(n + 2) < (n + 1)³ 

=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}< n+1\)

=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n}\)\(< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n+1}\)\(=\sqrt[3]{\left(n+1\right)\left(n^2+2n+1\right)}=\sqrt[3]{\left(n+1\right)\left(n+1\right)^2}=n+1\)

=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n}\)

\(< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}}< n+1\)

Tiếp tục như vậy,ta có đpcm.

Sorry ! n² < n(n + 2) nên n³ < n(n + 1)(n + 2) (vì n < n + 1)

\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{x^2y^2z^2}\)(1) với x+y+z=0. Bạn quy đồng vế trái (1) dc \(\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{x^2y^2z^2}=\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2-2\left(x+y+z\right)xyz}{x^2y^2z^2}\)