Cho hinh vuông ABCD,điểm E thuộc cạnh BC.Qua B kẻ thẳng đường vuông góc với DE ,đường vuông đó cắt đường thẳng DE ở H và cắt đường thẳng DC ở K
a) Chứng minh rằng DBHC là tứ giác nội tiết
b) Chứng minh rằng KC*KD=KH*KB
Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông goc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K
a) Chứng minh rằng BHCD là tứ giác nội tiếp
b) Tính góc CHK =?
c) Chứng minh KC.KD=KH.KB
d) Khi điểm E chuyển động trên cạnh BC thì điểm H chuyển động trên đường nào?
a. Theo giả thiết ABCD là hình vuông nên ÐBCD = 900; BH vuông góc DE tại H nên góc BHD = 900
=> như vậy H và C cùng nhìn BD dưới một góc bằng 900 nên H và C cùng nằm trên đường tròn đường kính BD
=> BHCD là tứ giác nội tiếp.
b. BHCD là tứ giác nội tiếp
=> góc BDC + góc BHC = 1800. (1)
góc BHK là góc bẹt nên góc KHC + góc BHC = 1800 (2).
Từ (1) và (2) => góc CHK = góc BDC mà góc BDC = 450 (vì ABCD là hình vuông)
=> góc CHK = 450 .
c. Xét tam giác KHC và tam giác KDB ta có góc CHK = góc BDC = 450 ; góc K là góc chung
=> tam giác KHC ~ tam giác KDB =>\(\dfrac{KC}{KB}\) = \(\dfrac{KH}{KD}\)
=> KC x KD = KH x KB.
d.Ta luôn có góc BHD = 900 và BD cố định nên khi E chuyển động trên cạnh BC cố định thì H chuyển động trên cung BC (E ≡ B thì H ≡ B; E ≡ C thì H ≡ C).
Cho hình vuông ABCD điểm E thuộc cạnh BC qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K
1.Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp
2.tính góc CHK
3.chứng minh KC×KD=KH×KB
1) ta có: góc BHD= góc BCD= 90độ
tứ giác BHCD có hai đỉnh H,C BD có một góc vuông
➜tứ giác BHCD là tứ giác nội tiếp
2)tứ giác BHCD là tứ giác nội tiếp (đpcm)
➜góc BDC+ góc BEC = 180 độ
mà góc CHK+ góc BEC =180 độ (bù nhau)
➩góc BDC = 45 độ (đường chéo chứa hai góc bằng nhau)➩góc CHK = 45 độ
3)xét ΔDHK và ΔBCK, ta có:
góc DHK = góc BCK = 90 độ
góc DHK chung
➜ΔDHK ∞ ΔBCK (g.g)
➜\(\dfrac{KC}{KH}\cdot\dfrac{KB}{KD}\)➜KC*KD=KH*KB (đpcm)
Cho hình vuông ABCD cạnh 4cm, điểm E thuộc cạnh BC (E \(\ne\)B và E \(\ne\)C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K.
a) Chứng minh rằng BHCD là tứ giác nội tiếp.
b) Tính số đo góc CHK.
c) Chứng minh KC.KD = KH.KB
d) Tính diện tích hình viên phân tạo bởi cung nhỏ BC và dây BC.
Cho tam giác ABC vuông tại A, K là trung điểm của cạnh BC.Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AK , đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt ở D và E. I là trung điểm của DE . Chứng minh rằng : AI vuông góc với BC.
Cho hình vuông ABCD lấy E thuộc BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt DE, DC theo thứ tự ở H và K. Chứng minh
a, Tứ giác BHCD nội tiếp, xác định tâm và bán kính
b, Tính góc CHK
c, KC×KD=KH×KB
Cho hình vuông ABCD lấy E thuộc BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt DE, DC theo thứ tự ở H và K.
a, CM tứ giác BHCD nội tiếp
b, Tính góc CHK
c, KC.KD = KH.KB
theo giả thiết ta có \(BH⊥DE\Rightarrow\widehat{BHD}=90^0\left(1\right)\).ABCD là hình vuông nên \(\widehat{BCD}=90^0\left(2\right)\)từ 1 và 2 ta có BHCD là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm (O) có tâm O là trung điểm của BDVì VBHCD nội tiếp đường tròn (O) nên\(\widehat{BHC}+\widehat{BDC}=180^0\left(3\right)\)Mà \(\widehat{BHC}+\widehat{CHK=180^0\left(4\right)}\)Từ 3,4 có \(\widehat{BCD}=\widehat{CHK}=45^0\)Do BHCD nội tiếp đường tròn (O) nên ta có phương tích từ K kẻ đến (O) là như nhau nên :KH.KB=KO2-OB2 (5) mà KC.KD = KO2 - OB2(6) , từ 5,6 có : KH.KB=KC.KD
Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa A, B. Tia DE và tia CB cắt nhau ở F. Kẻ đường thẳng qua D và vuông góc với DE, đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh rằng:
a) Tam giác DEK vuông cân tại D
b) \(\dfrac{1}{DE^2}+\dfrac{1}{DF^2}\) không đổi khi E chuyển động trên AB.
a: \(\widehat{ADE}+\widehat{EDC}=90^0\)
\(\widehat{KDC}+\widehat{EDC}=90^0\)
Do đó: \(\widehat{ADE}=\widehat{KDC}\)
Xét ΔADE vuông tại A và ΔCDK vuông tại C có
DA=DC
\(\widehat{ADE}=\widehat{KDC}\)
Do đó: ΔADE=ΔCDK
=>DE=DK
Xét ΔDEK có
\(\widehat{EDK}=90^0\)
DE=DK
Do đó: ΔDEK vuông cân tại D
b: Xét ΔDFK vuông tại D có DC là đường cao
nên \(\dfrac{1}{DK^2}+\dfrac{1}{DF^2}=\dfrac{1}{DC^2}\)
=>\(\dfrac{1}{DE^2}+\dfrac{1}{DF^2}=\dfrac{1}{DC^2}\) không đổi
Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC ở D. Kẻ DE vuông góc với BC tại E.
a) Chứng minh DA = DE.
b) Chứng minh BD là trung trực của AE.
c) Kẻ CK vuông góc với BD tại K, các đường thẳng CK, BA cắt .nhau tại F. Chứng minh ba điểm E, D, F thẳng hàng.
d) Chứng minh BC - BA > DC - DA.