help me

Xét phân số dương \(\dfrac{a}{b}\). Không mất tính tổng quát, giả sử \(a>0,b>0,a\ge b\).

Khi đó \(a=b+m\left(m\ge0\right)\). Ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+m}{b}+\dfrac{b}{b+m}=1+\dfrac{m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\ge1+\dfrac{b}{b+m}+\dfrac{m}{b+m}=1+\dfrac{m+b}{b+m}=1+1=2\)

Vậy \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\). Dấu "=" xảy ra khi a = b (m = 0)

Gọi một phân số dương bất kì là \(\dfrac{a}{b}\)(a; b > 0) thì phân số nghịch đảo của nó là \(\dfrac{b}{a}\). Ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a^2}{ab}+\dfrac{b^2}{ab}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}\)

+ Nếu a > b thì a² + b² > 2b² > 2ab. \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}>2\)

+ Nếu a < b thì a² + b² > 2a² > 2ab. \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}>2\)

+ Nếu a = b thì a² + b² = 2a² = 2ab. \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}=2\)

Vậy tổng 1 phân số dương với số nghịch đảo của nó \(\ge\) 2

+ Nếu a = b thì a²

\(a.\)Ta có:\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)

\(AM-GM:\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\left(đpcm\right)\)

\(b.\)Nếu x,y dương thì Áp dụng BĐT Cô-si ta có:\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}\ge2\sqrt{\frac{3x}{y}.\frac{3y}{x}}=6\)hay\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}\ge6\left(đpcm\right)\)

Nếu x,y âm ta có:\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}=\frac{3x^2}{xy}+\frac{3y^2}{xy}\ge2\sqrt{\frac{3x^2}{xy}.\frac{3y^2}{xy}}=6\left(đpcm\right)\)

Dễ thôi

Ta có: \(a^2+b^2\)

Áp dụng BĐT Cauchy:

Ta có: \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\sqrt{\left(ab\right)^2}=ab\)

Suy ra: \(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)

Suy ra: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Vậy đpcm