1.

Gọi \(I\left(x;y\right)\) là tâm đường tròn \(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\left(x-1;y-3\right)\)

Do đường tròn tiếp xúc với \(d_1;d_2\) nên:

\(d\left(I;d_1\right)=d\left(I;d_2\right)\Rightarrow\dfrac{\left|5x+y-3\right|}{\sqrt{26}}=\dfrac{\left|2x-7y+1\right|}{\sqrt{53}}\)

Chà, đề đúng ko em nhỉ, thế này thì vẫn làm được nhưng rõ ràng nhìn 2 cái mẫu kia thì số liệu sẽ xấu 1 cách vô lý.

2.

Phương trình đường thẳng kia là gì nhỉ? \(2x+y=0\) à?

ĐÁP ÁN D

Tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆ và đường tròn (C) nếu có là nghiệm hệ phương trình: là nghiệm của hệ phương trình

x − y + ​    4 = 0     ( 1 ) x 2 + ​ y 2 + ​ 2 x − 4 y − 8 = 0     ( 2 )

Từ  (1) suy ra: y = x + 4  thay vào (2) ta được: 

x 2   +     ( x +   4 ) 2   +     2 x   –   4 .   ( x +   4 )   -   8   =   0     x 2   +   x 2   +     8 x   +   16   +   2 x   -     4 x   –   16   -   8 =   0

 2x² + 6x  - 8 =  0   ⇔ x = 1 ⇒ y =    5 x = − 4 ⇒ y = 0

Vậy đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt là (1; 5) và  ( -4; 0)

Gọi M′, d′ và (C') theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua trục Ox .

Khi đó M′ = (3;5) . Để tìm ta viết biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục:

Thay (1) vào phương trình của đường thẳng d ta được 3x′ − 2y′ − 6 = 0.

Từ đó suy ra phương trình của d' là 3x − 2y – 6 = 0

Thay (1) vào phương trình của (C) ta được x ' 2   +   y ' 2   −   2 x ′   +   4 y ′   −   4   =   0 .

Từ đó suy ra phương trình của (C') là x   −   1 2   +   y   −   2 2   =   9 .

Cũng có thể nhận xét (C) có tâm là I(1; −2), bán kính bằng 3,

từ đó suy ra tâm I' của (C') có tọa độ (1;2) và phương trình của (C') là x   −   1 2   +   y   −   2 2   =   9

Đáp án D

Gọi d  là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương:

- Đường tròn (C₁) tâm I₁ (1;1) và R₁= 1

  Đường tròn (C₂) : tâm I₂( -2;0) và R₂= 3

- Nếu d cắt  (C₁) tại A :

- Nếu d cắt (C₂)  tại B:

- Theo giả thiết: MA= 2 MB nên MA²= 4 MB² (*)

- Ta có :

a) Gọi M', d' và (C') theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua O.

Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ ta có :

M′ = (2; −3), phương trình của d′: 3x – y – 9 = 0, phương trình của đường tròn (C′): x 2   +   y 2   −   2 x   +   6 y   +   6   =   0 .

b) Gọi M', d' và (C') theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua I .

Vì I là trung điểm của MM' nên M′ = (4;1)

Vì d' song song với d nên d' có phương trình 3x – y + C = 0.

Lấy một điểm trên d, chẳng hạn N(0; 9).

Khi đó ảnh của N qua phép đối xứng qua tâm I là N′(2; −5).

Vì N' thuộc d nên ta có 3.2 − (−5) + C = 0. Từ đó suy ra C = -11.

Vậy phương trình của d' là 3x – y – 11 = 0.

Để tìm (C'), trước hết ta để ý rằng (C) là đường tròn tâm J(−1; 3),

bán kính bằng 2. Ảnh của J qua phép đối xứng qua tâm I là J′(3; 1).

Do đó (C') là đường tròn tâm J' bán kính bằng 2. Phương trình của (C') là x   −   3 2   +   y   −   1 2   =   4 .

Đáp án: C

Ta có:

(C): x 2  + y 2  + 2x + 4y = 0 ⇔ (x + 1 ) 2  + (y + 2 ) 2  = 5

⇒ I(-1;-2), R = 5

Vì d’ song song với d nên d': 2x + y + c = 0, (c ≠ -3)

Đường thẳng d’ tiếp xúc với (C) nên

Vậy phương trình đường thẳng d’ là: 2x + y - 1 = 0 hoặc 2x + y + 9 = 0

ĐÁP ÁN D

Đường tròn (C) có  tâm I( -1; 3).

Do đường thẳng ∆ qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB nên    I M    ⊥ Δ ( quan hệ vuông góc đường kính và dây cung).

Đường thẳng ∆: đi qua  M(-2; 1) và nhận   M I → (    1   ;     2 )  làm VTPT nên có phương trình là :

1. (x + 2) +  2(y – 1) = 0 hay x+ 2y  = 0

\(x-7y+10=0\Rightarrow x=7y-10\)

Thay vào pt đường tròn:

\(\left(7y-10\right)^2+y^2-2\left(7y-10\right)+4y-20=0\)

\(\Leftrightarrow y^2-3y+2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\Rightarrow x=-3\\y=2\Rightarrow x=4\end{matrix}\right.\)

Gọi \(B\left(-3;1\right);C\left(4;2\right)\)

Phương trình trung trực AB có dạng:

\(4\left(x+1\right)-3\left(y+\frac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow8x-6y+5=0\)

Phương trình trung trực BC có dạng:

\(7\left(x-\frac{1}{2}\right)+1\left(y-\frac{3}{2}\right)=0\Leftrightarrow7x+y-5=0\)

Tọa độ tâm I là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}8x-6y+5=0\\7x+y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)\)

\(\Rightarrow R^2=IA^2=\sqrt{\left(1-\frac{1}{2}\right)^2+\left(-2-\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{25}{2}\)

Phương trình: \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{25}{2}\)

Quy trình làm như vậy, còn các bước tính toán bạn kiểm tra lại