Cho tam giác ABC vuông tại A và tia phân giác BD. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại E. CMR:
a) tam giác BAD = tam giác BED
b) BD là trung trực của AE
c) AD < DC
d) Trên tia đối của tia AB lấy F sao cho AF = CE. CM 3 điểm E, D, F thẳng hàng
Cho tam giác ABC vuông tại A và tia phân giác BD. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại E. CMR:
a) tam giác BAD = tam giác BED
b) BD là trung trực của AE
c) AD < DC
d) Trên tia đối của tia AB lấy F sao cho AF = CE. CM 3 điểm E, D, F thẳng hàng
a) Vì tam giác ABC vuông tại A(gt)
=)Â=90 độ
=)tam giác BAD là tam giác vuông tại A
Vì DE vuông góc vs BC (gt)
=)Ê =90 độ
=)tam giác BED là tam giác vuông tại E
xét tam giác BAD vuông tại A và tam giác BED vuông tại E có
Góc ABD =Góc EBD(vì BD là tia phân giác)
BD là cạnh chung
=) tam giác BAD=tam giác BED(ch-cgv)
Xét 2 tam giác vuông ABD và EBD có
Góc ABD=góc EBD(gt)
Cạnh huyền BD chung
=)) tam giác ABD=tam giácEBD (ch-gn)
cho tam giác ABC vuông tại A, PHân giác BD. Qua D kẻ đường vuông góc BC tại E
a, CMR tam giác BAD=Tam giác BED
B, Chứng minh BD là đường trung trực của AE
c, Chứng minh AD < DC
d, TRên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE.CM Ba điểm E, D, F thẳng hàng
a. Xét tam giác ABD vuông tại A và tam giác BED vuông tại E có:
BD : Cạnh chung
Góc ABD = góc DBE (BD phân giác)
=> Tam giác ABD = tam giác BED (cạnh huyền - góc nhọn)
b. Ta có BA = BE (Tam giác = tam giác câu a)
=> tam giác BAE cân tại B.
Lại có BD là phân giác tam giác BAE => BD vừa là phân giác vừa là đường trung trực của đoạn AE.
c. Xét tam giác EDC vuông tại E:
DE < DC (Cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền)
Mà DE = DA (Tam giác = tam giác câu a)
=> DA < DC.
d. Xét tam giác ADF và tam giác EDC:
DA = DE (tam giác = tam giác câu a)
DAF = DEC (=90 độ)
AF = EC (gt)
=> Tam giác ADF = tam giác EDC (C.g.c)
=> ADF = EDC (góc tương ứng)
Mặt khác : EDC + EDA = 180 độ .
Từ đó suy ra : EDA + ADF = 180 độ.
Vậy E,D,F thẳng hàng.
Cách 1: Giải theo phương pháp bậc tiểu học (của bạn Ác Quỷ)
Ta có
Mà dt(AMN) = 1/4 dt(ABN) = 1/4 . 1/2 dt(ABC) = 1/8 dt(ABC)
dt(DMN) = dt(ABC) - dt(AMN) - dt(BDM) - dt(CDN) = dt(ABC) - 1/8 dt(ABC) - 3/8 dt(ABC) - 1/4 dt(ABC) = 1/4 dt(ABC)
Vậy , suy ra AE/AD = 1/3
Cách 2: Giải theo phương pháp bậc THCS (của bạn Lê Quang Vinh)
DN là đường trung bình của tam giác ABC => DN // AB và DN = 1/2 AB
DN // AB => Hai tam giác EAM và EDN đồng dạng => EA/ED = AM/DN = 1/2 (vì AM = 1/4 AB, DN = 1/2 AB)
=> AE/AD = 1/3
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Kẻ DF ⊥ BC tại F. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = CF. Chứng minh:
a) Chứng minh: ∆ ABD = ∆ FBD
b) Chứng minh: BD là đường trung trực của đoạn thẳng AF
c) So sánh AD và DC
d) Góc ADE = góc FDC và E, D, F thẳng hàng
a) Xét \(\Delta\)ABD và \(\Delta\)FBD có
BAD=BFD (=90 độ)
ABD=FBD (BD là tia pg của ABC)
BD là cạnh chung
Do đó \(\Delta\)ABD=\(\Delta\)FBD(chgn)
b)Ta có \(\Delta\)ABD=\(\Delta\)FBD(cmt)
\(\Rightarrow\)AB=FB(2 cạnh t/ứ)
\(\Rightarrow\Delta ABFcântạiB\)
Xét \(\Delta\)ABF cân tại B có : BD là pg ABC hay BD là pg ABF
\(\Rightarrow\)BD đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng À
c)Vì \(\Delta\) DFC vuông tại F
\(\Rightarrow\)cạnh huyền DC là cạnh lớn nhất của \(\Delta\) DFC
\(\Rightarrow\)DC>FD
Mà AD=FD (vì \(\Delta\)ABD=\(\Delta\)FBD)
Nên AD<DC
d) Xét \(\Delta\)ADE và \(\Delta\)FDC có
DAE=DFC(=90 độ)
AE=CF(gt)
AD=FD(cmt)
Do đó\(\Delta\)ADE=\(\Delta\)FDC(2 cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow\)ADE=FDC(2 góc t./ứ)
Mà ADE+EDC=180 độ
CDF+EDC=180 độ
Hay EDF=180 độ
\(\Rightarrow\)E,D,F thẳng hàng
a)xét ΔABD và ΔFED có:
\(\widehat{BAD}=\widehat{BFD}=90^o\)
BD là cạnh chung
\(\widehat{ABD}=\widehat{FBD}\)(BD là phân giác của \(\widehat{ABF}\))
⇒ΔABD=ΔFED(c.huyền.g.nhọn)
b)gọi I là giao điểm của AF và BD
xét ΔABI và ΔFBI có:
BF=AB(ΔABD=ΔFED)
BI là cạnh chung
\(\widehat{ABI}=\widehat{FBI}\)(BD là phân giác của \(\widehat{ABF}\))
⇒ΔABI=ΔFBI(c-g-c)
⇒\(\widehat{BIA}=\widehat{BIF}\)(2 góc tương ứng)(1)
Mà \(\widehat{BIA}+\widehat{BIF}=180^o\)(2 góc kề bù)(2)
từ (1) và (2) ⇒\(\widehat{BIA}=\widehat{BIF}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)
vì ΔABI=ΔFBI⇒IA=IF
Do đó:BD là trung trực của AF(đ.p.cm)
c)xét ΔDCF có
DC là cạnh huyền
⇒DC>DF
Mà DF=AD
⇒DC>AD
d)Ta có:
AB=DF(ΔABD=ΔFED)
Mà AE=FC
⇒AB+AE=DF+FC
hay BE=DC
xét ΔBDC và ΔBDE có:
BE=DC(ch/m trên)
\(\widehat{EBD}=\widehat{CBD}\)(BD là phân giác của \(\widehat{EBC}\))
BD là cạnh chung
⇒ ΔBDC=ΔBDE(c-g-c)
⇒\(\widehat{BDE}=\widehat{BDC}\)(2 góc tương ứng)
Mà \(\widehat{BDA}=\widehat{BDF}\)(ΔABD=ΔFED)
⇒\(\widehat{BDE}-\widehat{BDA}=\widehat{BDC}-\widehat{BDF}\)
hay \(\widehat{ADE}=\widehat{FDC}\)(đ.p.cm)
ta có:\(\widehat{ADE}+\widehat{CDE}=180^o\)(2 góc kề bù)
Mà \(\widehat{ADE}=\widehat{FDC}\) ⇒\(\widehat{FDC}+\widehat{CDE}=180^o\)
hay E,D,F thẳng hàng(đ.p.cm)
Bài 1: Cho tam giác vuông ABC, góc A = 90o, phân giác BD. Kẻ BD vuông góc BC tại E. Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE. Chứng minh rằng:
a) BD là đường trung trực của AE.
b) AD<DC
c) Ba điểm E, D, F thẳng hàng
Bài 2: Cho tam giác vuông ABC, góc A = 90o , AB = 6cm, AC = 8cm.
a) Tính BC
b) Trung trực của BC cắt AC tại D và cắt AB tại F. Chứng minh góc DBC = góc DCB
c) Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE=DC. Chứng minh tam giác BCE vuông
d)Chứng minh:DF là phân giác của góc ADE và BE vuông góc CF
Bải 3: Cho tam giác đều ABC. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC ở M. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt các tia BM, BC lần lượt ở M và E. Chứng minh:
a) Tam giác ANC là tam giác cân
b) NC vuông góc BC
c) Tam giác AEC là tam giác cân
d) So sánh BC và NE
Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ BM vuông góc AC, CN vuông góc AB. Trên tia đối của tia BM lấy điểm D sao cho BD=AC, trên tia đối của tia CN lấy điểm E sao cho CE=AB. Chứng minh:
a) Góc ACE= góc ABD
b) Tam giác ABD = tam giác ECA
c) Tam giác AED là tam giác vuông cân
Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại E
a) Chứng minh : Tam giác BAD = Tam giác BED
b) Chứng minh : BD là trung trực của AE
c) Chứng minh: AD < DC
d) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE . Chứng minh 3 điểm E,D,F thẳng hàng
Cho tam giác ABC, phân giác BD. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại E
a, Chứng minh tam giác BAD =tam giác BED
b, CM BD là đường trung trực của AE
c, Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF=CE. Chứng minh E,D,F thẳng hàng
Bài 14. Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD, kẻ DE vuông góc với BC tại E. Trên tia đối của tia AB lấy F sao cho AF — CE. CMR:
a) AABD AEBD
b) BD là đường trung trực của AE
c) AD < DC.
d) E, D, F thẳng hàng và BD LCF.
e) 2(AD+AF) > CF.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Kẻ DE vuông góc BC (E thuộc BC).Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF=CE. Chứng minh
a/ Tam giác ABD=tam giác EBD
b/ BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE
c/ AD<DC
d/ Góc ADF=góc EDC và E,D,F thẳng hàng
Cho tam giác ABC vuông tại A,đường phân giác BD.Kẻ DE vuông góc với BC(E thuộc BC).Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF=CE.Chứng minh:
a) Tam giác ABD=tam giác EBD
b) AB = BE
c) E,D,F thẳng hàng
d) BD là đường trung trực của đoạn thẳng fc
a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuông tại E có
BD chung
\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)
Do đó: ΔBAD=ΔBED