a)x.f(x + 1) - ( x + 2). f( x) = 0 (1) 
*Với x=0 thì (1) 0.f(1) – 2.f(0) =0 f(0)=0. Vậy f(x) có một nghiệm là 0. 
*Với x=-2 thì (1) -2.f(-1) – 0.f(0) =0 f(-1)=0. Vậy f(x) có một nghiệm là -1. 
KL: Vậy f(x) có ít nhất hai nghiệm là 0 và -1(ĐPCM).

Cách khác:

a)Ta có nghiệm của đa thức là giá trị của biến làm đa thức có giá trị bằng 0. 
Nếu f(a) = 0 => a là nghiệm của f(x). 
Do: x.f(x + 1) = (x + 2).f(x) (1) đúng với mọi x. 
+ Thay x = 0 vào (1) ta được 
0.f(0 + 1) = (0 + 2).f(0) 
=> 0 = 2.f(0) 
=> f(0) = 0 
Do f(0) = 0 => x = 0 là 1 nghiệm của đa thức trên. (2) 

+ Thay x = -2 vào (1) ta được: 
(-2).f(-2 + 1) = (-2 + 2).f(-2) 
=> (-2).f(-1) = 0.f(-2) 
=> (-2).f(-1) = 0 
=> f(-1) = 0 
=> x = -1 là 1 nghiệm của đa thức trên (3) 
Từ (2) và (3) => đa thức đã cho có ít nhất 2 nghiệm là x = 0 và x = -2

 từ pt x.f(x+1) = f( x+ 2) .f(x) 
xét x= 0 
pt có dạng 0= f(2).f(0) 
vậy hoặc f(2) = 0 hoặc f(0) = 0 
hay hoặc x= 2 hoặc x= 0 là nghiệm của pt f(x) = 0 
KL pt f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm

\(f\left(x\right)=x^2+x+1=x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=x\left(x+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{4}\)

\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

Vì \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) \(\)với mọi x \(\in\) R

\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge0+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}>0\) với mọi x \(\in\) R

Vẫy f(x) vô nghiệm

f(x) = x²+​1/2x+1/2x+1/4+3/4
f(x) = x(x+1/2)+1/2(x+1/2)+3/4
f(x) = (x+1/2)(x+1/2)+3/4
f(x) = (x+1/2)²+3/4
Ta có : (x+1/2)²  luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x
=> (x+1/2)²+3/4 luôn lớn hoặc bằng 3/4 với mọi x 
=> f(x) luôn lớn hoặc bằng 3/4 với mọi x 
=> f(x) không có nghiệm

nhưng ko phài theo cách hàng đẳng thức

Từ \(x-y=1\Rightarrow x=y+1\)

\(\Rightarrow xy+1=\left(y+1\right).y+1=y^2+y+1=y^2+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=y\left(y+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(y+\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{4}\)

\(=\left(y+\frac{1}{2}\right)\left(y+\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{4}=\left(y+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

Vì \(\left(y+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) với mọi y E R

=>\(\left(y+\frac{1}{2}\right)^2+4\ge4>0\) với mọi y E R

=>y²+y+1 vô nghiệm

=>xy+1 vô nghiệm (đpcm)
 

x-y=1 => y=x-1

Thay vào đa thức trên, ta có:

x(x-1)+1 = x²-x-1 = x²-0.5x-0.5x-1 = (x-0.5)x - (x-0.5)0.5 = (x-0.5)²>0

=>đa thức vô nghiệm

Theo bài ra , ta có :

x - y = 1 

=) x , y khác 0 vs mọi x , y thuộc |R

=) xy khác 0 vs mọi x , y thuộc |R

=) xy + 1 > 0 vs mọi x , y thuộc |R

Vậy đa thức xy+1 ko có nghiệm