Cho tam giác ABC , qua điểm O bất kì nằm trong tam giác ABC, các đường thẳng AO,BO,CO cắt BC, AC,AB lần lượt tại M,N,P . C/m: OM/AM+ON/BN+OP/CP=1
Những câu hỏi liên quan
cho tam giác ABc nhọn và O là 1 điểm nằm trong tam giác các tia AO,BO,CO lần lượt cắt BC,CA,AB tại M,N,P. Chứng minh AM/OM +BN/ON+CP/OP> =9
Cho tam giác ABC nhọn , O là điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M,N,P. Chứng minh rằng:
\(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\ge9\)
Giúp với bà con!!!
Ta có : \(\frac{OM}{AM}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{ON}{BN}=\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{OP}{CP}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}\)
\(\Rightarrow\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OP}{CP}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)
Áp dụng bđt Bunhiacopxki, ta có :
\(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}=\left(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\right).\left(\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OP}{CP}\right)\ge\)
\(\ge\left(\sqrt{\frac{AM}{OM}.\frac{OM}{AM}}+\sqrt{\frac{BN}{ON}.\frac{ON}{BN}}+\sqrt{\frac{CP}{OP}.\frac{OP}{CP}}\right)^2=\left(1+1+1\right)^2=9\)
Vậy \(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\ge9\) (đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
Neu đề bài trên kia là cho >_ 6 thì chứng minh thế nào
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC , O là 1 điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC . Kéo dài AO, BO, CO lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại M, N, P. Cm AO/AM+BO/BN+CO/CP=2
Giải chi tiết giúp mình nha
cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác.các đường thẳng AO, BỘ cắt các cạnh BC, AC lần lượt tại M,N.Biết AO =OM,BO=5ON.đường thẳng CO cắt tại AB tại P.So sánh CO và OP
Cho tam giác ABC nhọn và một điểm O nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N.
Chứng minh: \(\dfrac{AM}{OM}+\dfrac{BN}{ON}+\dfrac{CP}{OP}\ge9\)
Cho tam giác ABC qua một điểm O nằm bên trong tam giác dựng các đường thẳng AO,BO,CO cắt BC,AC,AB tương ứng tại M,N,K
CMR: \(\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{IK}{CK}=1\)
Dễ thấy:\(\frac{OM}{AM}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}};\frac{OB}{BN}=\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}};\frac{OK}{CK}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}\)
\(\Rightarrow\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OK}{CK}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)
Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác. AO, BO, CO cắt BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng qua O song song với BC cắt DE, DF lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng OM = ON
cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác. AO,BO,Co cắt các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. Qua O kẻ đường song song với BC cắt DE,DF lần lượt tại N và M . CMR: OM=ON
Gọi T là giao điểm của DE và AB. Qua F kẻ đường thẳng song song với BC cắt DA, DT lần lượt tại U, V.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC, cát tuyến TED, ta có:
\(\dfrac{TA}{TB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}=1\)
Áp dụng định lý Ceva cho tam giác ABC với AD, BE, CF đồng quy tại O, ta có:
\(\dfrac{FA}{FB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}=1\)
Từ đó suy ra \(\dfrac{TA}{TB}=\dfrac{FA}{FB}\Leftrightarrow\dfrac{TA+FA}{TB}=\dfrac{2FA}{TB}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{TF}{TB}=\dfrac{2AF}{AB}\)
Mà theo định lý Thales:
\(\dfrac{TF}{TB}=\dfrac{FV}{BD}\) và \(\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{FU}{BD}\)
Từ đó suy ra \(\dfrac{FV}{BD}=\dfrac{2FU}{BD}\) \(\Rightarrow FV=2FU\) hay U là trung điểm FV.
Áp dụng bổ đề hình thang, ta dễ dàng suy ra O là trung điểm MN hay \(OM=ON\) (đpcm).
(Bổ đề hình thang phát biểu như sau: Trung điểm của 2 cạnh đáy, giao điểm của 2 đường chéo và giao điểm của 2 đường thẳng chứa 2 cạnh bên của một hình thang thì thẳng hàng. Chứng minh khá dễ, mình nhường lại cho bạn tự tìm hiểu nhé.)
Đúng 1
Bình luận (0)
Chỗ biến đổi này mình làm lại nhé:
Cần chứng minh: \(\dfrac{TF}{TB}=\dfrac{2AF}{AB}\)
\(\Leftrightarrow TF.AB=2AF.TB\)
\(\Leftrightarrow\left(TA+AF\right)\left(AF+BF\right)=2AF\left(TA+AF+BF\right)\)
\(\Leftrightarrow TA.AF+TA.BF+AF^2+AF.BF=2TA.AF+2AF^2+2AF.BF\)
\(\Leftrightarrow TA.AF+AF^2+AF.FB=TA.BF\)
\(\Leftrightarrow AF\left(TA+AF+FB\right)=TA.BF\)
\(\Leftrightarrow AF.TB=TA.BF\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{TA}{TB}=\dfrac{FA}{FB}\) (luôn đúng)
Vậy \(\dfrac{TF}{TB}=\dfrac{2AF}{AB}\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC và O nằm tròn tam giác .AO,BO,CO cắt BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F.đường thẳng qua O //BC cắt DE,DF lần lượt tại M,N.
Cm OM=ON