\(\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\frac{1}{99}+\frac{1}{143}+\frac{1}{195}\)

\(=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{2}{3\cdot5}+\frac{2}{5\cdot7}+\frac{2}{7\cdot9}+\frac{2}{9\cdot11}+\frac{2}{11\cdot13}+\frac{2}{13\cdot15}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{13}+\frac{1}{13}-\frac{1}{15}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{15}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{15}=\frac{2}{15}\)

Bỏ mũ 2006 đi là được

cái lề gì vậy

Em tham khảo tại link dưới đây nhé:

Câu hỏi của Trần Anh Dũng - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath

a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = a^2/(ab+ac) + b^2/(ba+bc) + c^2/(ac+bc) >=

(a+b+c)^2/(2.(ab+bc+ac) (buhihacopxki dạng phân thức)

>= (3.(ab+bc+ac)/(2(ab+bc+ac) =3/2

a^2/(b^2+c^2) + b^2/(a^2+c^2) + c^2/(a^2+b^2) >= (a+b+c)^2/(2.(a^2+b^2+c^2) (buhihacopxki dạng phân thức)

>= 3(a^2+b^2+c^2) / 2(a^2+b^2+c^2) >=3/2 

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}-\dfrac{3}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{b+c}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{b}{c+a}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{c}{a+b}-\dfrac{1}{2}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{2a-b-c}{2\left(b+c\right)}\right)+\left(\dfrac{2b-a-c}{2\left(a+c\right)}\right)+\left(\dfrac{2c-a-b}{2\left(a+b\right)}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b+a-c}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{b-a+b-c}{2\left(a+c\right)}+\dfrac{c-a+c-b}{2\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{a-c}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{b-a}{2\left(a+c\right)}+\dfrac{b-c}{2\left(a+c\right)}+\dfrac{c-a}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{c-b}{2\left(a+b\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}-\dfrac{1}{2\left(a+c\right)}\right]+\left(a-c\right)\left[\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}-\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}\right]+\left(b-c\right)\left[\dfrac{1}{2\left(a+c\right)}-\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}\right]\ge0\)

ta có: a,b,c là 3 số dương bất kì nên ta giả sử \(a\ge b\ge c\)

\(\Rightarrow a+c\ge b+c\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+c\right)\ge2\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2\left(a+c\right)}\le\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2\left(a+c\right)}-\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}\ge0\)

Mà \(a\ge b\Rightarrow a-b\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left[\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}-\dfrac{1}{2\left(a+c\right)}\right]\ge0\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự, ta có:

\(\left(a-c\right)\left[\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}-\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}\right]\ge0\left(2\right)\)

\(\left(b-c\right)\left[\dfrac{1}{2\left(a+c\right)}-\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}\right]\ge0\left(3\right)\)

Cộng từng vế (1);(2);(3)  \(\Rightarrow\) luôn đúng

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\) 

Bài 1:

Số tự nhiên lẻ lớn nhất có 2 chữ số là 99

Số tự nhiên lẻ bé nhất có 2 chữ số là 11

Số số tự nhiên lẻ có 2 chữ số là:

(99-11):2+1=45 (số)

Tổng các số tự nhiên lẻ có 2 chữ số là:

(99+11).45:2=2475

Còn chữ "lấy" của bn mik ko hiểu là j hết, bn nói rõ hơn nha.

Bài 2:

A=99-97+95-93+91-89+...+7-5+3-1

=(99-97)+(95-93)+(91-89)+...+(7-5)+(3-1)

=2+2+2+...+2+2 (25 số 2)

=2.25

=50

B=50-49+48-47+...+4-3+2-1

=(50-49)+(48-47)+...+(4-3)+(2-1)

=1+1+...+1+1 (25 số 1)

=1.25

=25

Chỗ nào ko hiểu thì hỏi mik nhé!

Chúc bn học giỏi nha!!!

Cảm ơn cô

Bài 1:

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ

vậy p + 1 và p -  1 là hai số chẵn.

Mà p + 1 - (p - 1) = 2 nên p + 1 và p - 1 là hai số chẵn liên tiếp.

đặt p - 1 = 2k thì p + 1 = 2k + 2 (k \(\in\) N*)

A = (p + 1).(p - 1) = (2k + 2).2k = 2.(k + 1).2k = 4.k.(k +1) 

Vì k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên chắc chẵn phải có một số chia hết cho 2.

⇒ 4.k.(k + 1) ⋮ 8 

⇒ A = (p + 1).(p - 1) ⋮ 8 ⁽¹⁾

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng:

   p = 3k + 1; hoặc p = 3k + 2

Xét trường hợp p = 3k + 1 ta có:

  p - 1 = 3k + 1  - 1  = 3k ⋮ 3

⇒ A = (p + 1).(p - 1) ⋮ 3  ⁽²⁾

Từ (1) và (2) ta có:

A ⋮ 3; 8  ⇒ A \(\in\) BC(3; 8)

3 = 3; 8 = 2³; ⇒ BCNN(3; 8) = 2³.3 = 24

⇒ A \(\in\) B(24) ⇒ A ⋮ 24 (*)

Xét trường hợp p = 3k + 2 ta có

p + 1 = 3k + 2 + 1  = 3k + 3 = 3.(k + 1) ⋮ 3 ⁽³⁾

Từ (1) và (3) ta có: 

A = (p + 1).(p - 1) ⋮ 3; 8 ⇒ A \(\in\) BC(3; 8)

3 = 3; 8 = 2³ ⇒ BCNN(3; 8) = 2³.3 = 24 

⇒ A \(\in\) BC(24) ⇒ A \(⋮\) 24 (**)

Kết hợp (*) và(**) ta có

A \(⋮\) 24 (đpcm)

Bài 2:

P = 10p + 1 và p là số nguyên tố lớn hơn 3 chứng minh 5p + 1 là hợp số

Ta có vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ

⇒ p = 2k + 1 (k \(\in\) N*)

ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}p=2k+1\\10p+1=10.\left(2k+1\right)+1\end{matrix}\right.\)

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}5p=5.\left(2k+1\right)\\10p+1=20k+11\end{matrix}\right.\)

⇒\(\left\{{}\begin{matrix}5p=10k+5\\10p+1=20k+11\end{matrix}\right.\)

⇒ 10p + 1 - 5p =  20k + 11 - (10k + 5)

⇒ 5p + 1 = 20k + 11  - 10k - 5

⇒ 5p + 1  = 10k + 6 

⇒ 5p + 1  = 2.(5k + 3)

⇒ 5p + 1 ⋮ 1; 1; (5k + 3) 

⇒ 5p + 1 là hợp số (đpcm)

a) x¹² + 4 = x¹² + 4x⁶ + 4 - 4x⁶ = (x⁶ + 2)² - (2x³)² 

= (x⁶ - 2x³ + 2)(x⁶ + 2x³ + 2)

b) 4x⁸ + 1 = 4x⁸ + 4x⁴  + 1 - 4x⁴ = (2x⁴ + 1)² - (2x²)² 

= (2x⁴ + 2x² + 1)(2x⁴ - 2x²  + 1)

c) x⁷ + x⁵ - 1 = x⁷ - x + x⁵ + x² - (x² - x  + 1) = x(x⁶ - 1) + x²(x³ + 1) - (x² - x + 1)

= x(x³ - 1)(x³ + 1) + x²(x + 1)(x² - x + 1) - (x2 - x + 1)

= (x⁴ - x)(x + 1)(x² - x + 1) + (x³ + x²)(x² - x + 1) - (x² - x + 1)

= (x⁵ + x⁴ - x² - x + x³ + x² - 1)(x² -x + 1)

= (x⁵ + x⁴ + x³ - x - 1)(x² - x + 1)

d) x⁷ + x⁵ + 1 = x⁷ - x + x⁵ - x² + (x² + x + 1)

= x(x³ - 1)((x³ + 1) + x²(x³ - 1) + (x² + x + 1)

= (x⁴ + x)(x  - 1)(x² + x + 1) + x²(x - 1)((x² + x + 1) + (x² + x + 1)

= (x² + x + 1)(x⁵ - x⁴ + x² - x + x³ - x² + 1)

= (x² + x + 1)(x⁵ - x⁴ + x³ - x + 1)