a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔEBA vuông tại E có

góc B chung

=>ΔABC đồng dạng vơi ΔEBA

b: \(BC=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

BF là phân giác

=>AF/AB=CF/BC

=>AF/3=CF/5=4/8=0,5

=>AF=1,5cm

\(BF=\sqrt{1,5^2+3^2}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\left(cm\right)\)

Dễ thôi 

ta có\(\Delta HBE\infty\Delta ABF\)(\(\widehat{BHE}=\widehat{BAF}=90^0\);\(\widehat{EBH}=\widehat{ABF}\))

\(\Rightarrow\widehat{BEH}=\widehat{AFB}\)

Lại có:\(\widehat{BEH}=\widehat{AEF}\)

\(\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{AEF}\)

Vậy tam giác AEF cân tại A

a, Xét ΔABC có góc BAC vuông

=> \(BC^2=AB^2+AC^2\)

=> \(BC^2=25\)

\(\Rightarrow BC=5\) (cm)

   Xét ΔABC và ΔDAC, có

          \(\widehat{BAC}=\widehat{ADC}\)          

          \(\widehat{C}\) chung          

=> ΔABC∼ΔDAC(g.g)

=> \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AC}{BC}\)

=>\(\dfrac{AD}{3}=\dfrac{4}{5}\)

\(\Rightarrow AD=2,4cm\)

b, Vì ΔABC∼ΔDAC (cmt)

=>\(\dfrac{AC}{BA}=\dfrac{DC}{AC}\)

  Xét ΔADB và ΔADC, có:

   +   \(\widehat{ADC}=\widehat{ADB}\) (=90 độ)

   +   \(\dfrac{AC}{BA}=\dfrac{DC}{AC}\)

=> ΔADB∼ΔADC (c.g.c)

=> \(\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{DC}{AD}\)

\(\Rightarrow AD.AD=BD.DC\)

=> \(AD^2\)= BD.DC(đpcm)

c, Vì ΔABC∼ΔDAC(câu a)                                   (1)

   Mà BE là phân giác của ΔABC(gt)                    (2)

  => \(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AE}{EC}\)(t/c đường phân giác trong tâm giác)

   Mà BE cũng là đường phân giác của ΔDBA                   (3)

- Từ 1,2,3 => \(\dfrac{DF}{FA}=\dfrac{AE}{EC}\) 

\(BC=\sqrt{3^2+4^2}=5\)

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\Rightarrow AH=\dfrac{12}{5}cm\)

\(AD=\sqrt{bc\left(1-\left(1-\dfrac{a}{b+C}\right)^2\right)}=\dfrac{4\sqrt{3}}{7}\)

+xét tam giác ABC vuông tại A:

=> BC²=AC²+AB²(Định lý pytago)

hay BC²=16+9

BC²= 25

Mà BC>0

=> BC=5(cm)

+xét tam giác ABH vuông tại H và tam giác ABC vuông tại A có:

GÓC B: góc chung

góc A=góc H=90độ (tam giác ABC vuông tại A,AH:đường cao)

=> tam giác ABH đồng dạng với tam giác ABC(góc-góc)

=> BH/AB=BA/BC(các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay BH/3=3/5

=> BH=1,8(cm)

=> HC=5-1,8=4,8(cm) 

p/s: mình thấy sai sai , vì sao có dữ liệu phân giác góc C mà lại không dùng đến(bạn tham khảo thử bài mình thôi nhé).Các góc,đồng dạng,độ , bạn cùng kí hiệu.Thông cảm hình mình vẽ hơi tởm=))

a)

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\( \Leftrightarrow {3^2} + {4^2} = B{C^2}\)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = 25\)

\( \Rightarrow BC = 5cm\)

Ta có: \(BD + DC = BC \Rightarrow DC = BC - BD = 5 - BD\)

Vì \(AD\) là phân giác của góc \(BAC\) nên theo tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{5 - BD}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow 4.BD = 3.\left( {5 - BD} \right) \Rightarrow 4.BD = 15 - 3.BD\)

\( \Leftrightarrow 4BD + 3BD = 15 \Leftrightarrow 7BD = 15 \Rightarrow BD = \frac{{15}}{7}\)

\( \Rightarrow DC = 5 - \frac{{15}}{7} = \frac{{20}}{7}\)

Vậy \(BC = 5cm;BD = \frac{{15}}{7}cm;DC = \frac{{20}}{7}cm\).

b) Diện tích tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) là:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.4.3 = 6\left( {c{m^2}} \right)\)

Mặt khác \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AH.BC = \frac{1}{2}.AH.5 = 6\)

\( \Rightarrow AH = \frac{{6.2}}{5} = 2,4cm\).

Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) ta có:

\(A{H^2} + H{B^2} = A{B^2}\)

\( \Leftrightarrow H{B^2} = A{B^2} - A{H^2}\)

\( \Leftrightarrow H{B^2} = {3^2} - 2,{4^2}\)

\( \Leftrightarrow H{B^2} = 3,24\)

\( \Rightarrow HB = 1,8cm\)

\(HD = BD - BH = \frac{{15}}{7} - 1,8 = \frac{{12}}{7}cm\).

Xét tam giác \(AHD\) vuông tại \(H\) ta có:

\(A{H^2} + H{D^2} = A{D^2}\)

\( \Leftrightarrow A{D^2} = {\left( {\frac{{12}}{7}} \right)^2} + 2,{4^2}\)

\( \Leftrightarrow A{D^2} = \frac{{144}}{{49}} + \frac{{144}}{{25}}\)

\( \Rightarrow AD \approx 2,95cm\)

Vậy \(AH = 2,4cm;HD = \frac{{12}}{7}cm;AD = 2,95cm\).

a: Xét ΔABC vuông tại A va ΔEBA vuông tại E có

góc B chung

=>ΔABC đồng dạng với ΔEBA

b: BC=căn 6^2+8^2=10cm

BF là phân giác

=>AF/AB=CF/BC

=>AF/3=CF/5=(AF+CF)/(3+5)=8/8=1

=>AF=3cm

BF=căn 6^2+3^2=3*căn 5(cm)