C1 : Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(< =>2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)< =>2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)

\(< =>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(< =>\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)

\(< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)*đúng*

Suy ra được : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx=1< =>\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge1\)

\(< =>x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2\ge1\)(*)

Bất đẳng thức chứng minh có thể viết theo dạng : \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)

\(< =>2\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)< =>2x^4+2y^4+2z^4\ge2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2\)(**)

Cộng theo vế bất đẳng thức (*) và (**) ta được : \(x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2+2x^4+2y^4+2z^4\ge2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2+1\)

\(< =>3\left(x^4+y^4+z^4\right)+2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)-2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\ge1\)

\(< =>3\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge1< =>x^4+y^4+z^4\ge\frac{1}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Vậy GTNN của \(x^4+y^4+z^4=\frac{1}{3}\)đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

C2 : Ta có : \(x^4+y^4+z^4=\left(x^4+\frac{1}{9}\right)+\left(y^4+\frac{1}{9}\right)+\left(z^4+\frac{1}{9}\right)-\frac{1}{3}\)

Sử dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2\ge2ab< =>\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*

Khi đó : \(\left(x^4+\frac{1}{9}\right)+\left(y^4+\frac{1}{9}\right)+\left(z^4+\frac{1}{9}\right)-\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}x^2+\frac{2}{3}y^2+\frac{2}{3}z^2-\frac{1}{3}\)

\(=\frac{2}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)-\frac{1}{3}\)(*)

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ sau : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(< =>2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)< =>2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)

\(< =>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(< =>\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)

\(< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)*đúng*

Áp dụng bất đẳng thức trên ta được :

 \(\frac{2}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)-\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}\left(xy+yz+zx\right)-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)( Do \(xy+yz+zx=1\)) (**)

Từ (*) và (**) suy ra \(\left(x^4+\frac{1}{9}\right)+\left(y^4+\frac{1}{9}\right)+\left(z^4+\frac{1}{9}\right)-\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)

Hay \(x^4+y^4+z^4\ge\frac{1}{3}\) 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Vậy GTNN của \(x^4+y^4+z^4=\frac{1}{3}\)đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=1+2\left(ab+bc+ca\right).\)

\(\Rightarrow A=\left(ab+bc+ca\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}\)với mọi a,b,c

Vậy A nhỏ nhất bằng -1/2 khi a+b+c =0

Ta có : \((x-\dfrac{1}{3})^2+(y-\dfrac{1}{3})^2+(z-\dfrac{1}{3})^2>=0\)

\(=>x^2+y^2+z^2-\dfrac{2}{3}(x+y+z)+\dfrac{1}{3}\ge0\)

\(=>x^2+y^2+z^2+\dfrac{1}{3}\ge\dfrac{2}{3}(x+y+z)\)

\(=>1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}\ge\dfrac{2}{3}(x+y+z)\)

\(=>x+y+z\le2\)

Do đó : \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1+2(ab+bc+ca).\)

\(=>A=(ab+ac+bc)=\dfrac{1}{2}(a+b+c)^2-\dfrac{1}{2}\le\dfrac{1}{2}.2^2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Ta có : \((x-\dfrac{1}{\sqrt{3}})^2+(y-\dfrac{1}{\sqrt{3}})^2+(z-\dfrac{1}{\sqrt{3}})^2>=0\)

\(=>x^2+y^2+z^2-\dfrac{2}{\sqrt{3}}(x+y+z)+1\ge0\)

\(=>x^2+y^2+z^2+1\ge\dfrac{2}{\sqrt{3}}(x+y+z)\)

\(=>1+1=2\ge\dfrac{2}{\sqrt{3}}(x+y+z)\)

\(=>x+y+z\le\sqrt{3}\)

Do đó : \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1+2(ab+bc+ca).\)

\(=>A=(ab+ac+bc)=\dfrac{1}{2}(a+b+c)^2-\dfrac{1}{2}\le\dfrac{1}{2}.\sqrt{3}^2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{2}=1\)

\(4x^2+4y^2\ge8xy\)

\(16x^2+z^2\ge8zx\)

\(16y^2+z^2\ge8yz\)

Cộng vế với vế:

\(20x^2+20y^2+2z^2\ge8\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow10x^2+10y^2+z^2\ge4\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)

a/ giá trị nhỏ nhất của A  là 2

b/ giá trị lớn nhất của B là 51

tớ chỉ có bài tham khảo trên mạng thôi bạn thông cảm

Ta có: x + y = 1
   <=> (x + y)³ = 1
   <=> x³ + y³ + 3xy(x + y) = 1
   <=> x³ + y³ + 3xy = 1 (do x + y = 1)
   <=> x³ + y³ = 1 - 3xy
Áp dụng BĐT Cô - si, ta có:
   xy >= (x+y)24=14(x+y)24=14
<=> -3xy≥−34≥−34
Ta có x³ + y³ = 1 - 3xy ≥1−34=14≥1−34=14
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1212
Vậy GTNN của x³ + y³ là 1414khi x =  y = 12

c/  GTNN của C là 5

d/ y = 12 , x = 12