a/ BĐT sai, cho \(a=b=c=2\) là thấy

b/ \(VT=\frac{a^4}{a^2+2ab}+\frac{b^4}{b^2+2bc}+\frac{c^4}{c^2+2ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

c/ Tiếp tục sai nữa, vế phải là \(\frac{3}{2}\) chứ ko phải \(2\), và hy vọng rằng a;b;c dương

\(VT=\frac{a^2}{abc.b+a}+\frac{b^2}{abc.c+b}+\frac{c^2}{abc.a+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)+a+b+c}\)

\(VT\ge\frac{9}{3abc+3}\ge\frac{9}{\frac{3\left(a+b+c\right)^3}{27}+3}=\frac{9}{\frac{3.3^3}{27}+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Ta có:

\(a^3+b^3+b^3\ge3ab^2\) ; \(b^3+c^3+c^3\ge3bc^2\) ; \(c^3+a^3+a^3\ge3ca^2\)

Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge ab^2+bc^2+ca^2\)

\(\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}=\frac{a^6}{ab^2}+\frac{b^6}{bc^2}+\frac{c^6}{ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab^2+bc^2+ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3}=a^3+b^3+c^3\)

Áp dụng BĐT Cauchy dạng Engel , ta được 

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^3}{x+y+z}=\frac{1}{x+y+z}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\) => \(x=y=z\).(*)

Áp dụng BĐT Cauchy dạng Engel , ta được : \(\frac{1}{x^5}+\frac{1}{y^5}+\frac{1}{z^5}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^3}{x^5+y^5+z^5}\) \(=\frac{1}{x^5+y^5+z^5}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z ( đã có ở (*)  )

Vậy \(\frac{1}{x^5}+\frac{1}{y^5}+\frac{1}{z^5}=\frac{1}{x^5+y^5+z^5}\) ( đpcm) với x=y=z

Bài này gần giống câu hỏi số 965642 bn xem đi nhé

Đặt \(A=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{64^2}\)

Đặt \(B=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{64^2}\)

Ta có: \(\frac{1}{5^2}< \frac{1}{4.5}\)

           \(\frac{1}{6^2}< \frac{1}{5.6}\)

            ....................

          \(\frac{1}{64^2}< \frac{1}{63.64}\)

\(\Rightarrow B< \frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{63.64}\)

\(\Rightarrow B< \frac{1}{4}-\frac{1}{64}< \frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow B< \frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{4^2}+\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow A< \frac{5}{16}\)

Ta có S =\(\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{64^2}\)

= \(\frac{1}{4.4}+\frac{1}{5.5}+\frac{1}{6.6}+...+\frac{1}{64.64}\)

< \(\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{63.64}\)

= \(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{63}-\frac{1}{64}\)

= \(\frac{1}{3}-\frac{1}{64}\)

= \(\frac{61}{192}\)> \(\frac{60}{192}=\frac{5}{16}\)

S <  \(\frac{61}{192}>\frac{5}{16}\)

=> sai đề