cho Tứ giác ABCD có diện tích S và diểm O nẳm trong tứ giác sao cho OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=2S.chứng minh ABCD là hinh vuông có tâm là điểm O
Những câu hỏi liên quan
Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích S và O là điểm nằm trong tứ giác sao cho OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=2S. Chứng minh rằng ABCD là hình vuông có tâm là O
Cho tứ giác ABCD có điểm O nằm trong tứ giác ABCD. Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD
CMR: \(OA^2+OB^2+OC^2+OD^2\ge2S\)
Hạ CH vuông góc với OB tại H. Theo quan hệ đường xiên hình chiếu:
\(CH\le OC\Leftrightarrow CH.OB\le OC.OB\Leftrightarrow2.S_{BOC}\le OC.OB\)(Do \(S_{BOC}=\frac{CH.OB}{2}\))
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: \(OC.OB\le\frac{OC^2+OB^2}{2}\)
\(\Rightarrow2.S_{BOC}\le\frac{OC^2+OB^2}{2}\left(1\right)\). Chứng minh tương tự ta được:
\(2.S_{AOB}\le\frac{OA^2+OB^2}{2}\left(2\right);2.S_{DOC}\le\frac{OD^2+OC^2}{2}\left(3\right);2.S_{AOD}\le\frac{OA^2+OD^2}{2}\left(4\right)\)
Cộng (1); (2); (3) và (4) theo vế:
\(2.\left(S_{BOC}+S_{AOB}+S_{DOC}+S_{AOD}\right)\le\frac{2.\left(OA^2+OB^2+OC^2+OD^2\right)}{2}\)
\(\Rightarrow2S\le OA^2+OB^2+OC^2+OD^2\)=> ĐPCM.
Đúng 0
Bình luận (0)
\(2.S_{BOC}\le OC.OB\). Dấu "=" xảy ra <=> OC vuông góc với OB
\(OC.OB\le\frac{OC^2+OB^2}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> OC=OB
Suy ra \(2.S_{BOC}\le\frac{OC^2+OB^2}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> \(\Delta\)BOC vuông cân tại O
Tương tự với các tam giác AOB; AOD; DOC.
Vậy dấu "=" xảy ra <=> Tứ giác ABCD là hình vuông và O là tâm của hình vuông này.
Đúng 0
Bình luận (0)
cho tứ giác ABCD có diện tích là S. điểm O bất kì trong tứ giác. CMR:
\(OA^2+OB^2+OC^2+OD^2\ge2S\). dấu "=" xảy ra khi nào?
Cho tứ giác ABCD và một điểm O ở bên trong tứ giác. gọi S là diện tích tứ giác ABCD. Chứng minh rằng : \(OA^2+OB^2+OC^2+OD^2\ge2S\)
dùng bất đẳng thức cauchy
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tứ giác ABCD
a) tìm tập hợp điểm M sao cho S ABCM= S ADCM
b)tìm trong tứ giasc 1 đỉnh O sao cho OA,OB,OC<OD chia tứ giác thành 4 phần có diện tích bằng nhau
Cho hình vuông ABCD. có cạnh bằng 16cm, O là giao điểm của AC và BD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của OA,OB,OC,OD
a) Tứ giác MNPQ là hình j vì sao
b) Tính S hình vuông ABCD nằm ngoài tứ gics MNPQ
1) Cho tứ giác ABCD có AC cắt BD tại O . Biết OA = 3cm, OB = 4cm , AB =5cm , OC =2OA ; OD=2OB .
Khi đó CD bằng: A.) 5cm. B.) 10cm . C.) 15cm . D.) 20cm .
2) Cho tứ giác ABCD . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O . Gọi E là điểm trong của tam giác OCD . Số tứ giác (tứ giác lồi và tứ giác không lồi) nhận 4 trong 5 điểm A, B , .., D , E làm đỉnh là:
A) 3
B) 6
C) 9
D) 12
Cho tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD
a, Chứng minh AB+BC+CD+AD / 2 < OA+OB+OC+OD<AB+BC+CD+AD
b,khi O là một điểm bất kì thuộc miền trong tứ giác ABCD thì kết luận trên có đúng không
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
\(OA+OB>AB\)
\(OB+OC>BC\)
\(OC+OD>DC\)
\(OD+OA>AD\)
Cộng vế theo vế thì \(2\left(OA+OB+OC+OD\right)>AB+BC+CA+AD\)
\(\Rightarrow OA+OB+OC+OD>\frac{AB+BC+CA+AD}{2}\) ( 1 )
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
\(AB+BC>CA;BC+CD>BD;CD+DA>CA;DA+AB>BD\)
Cộng vế theo vế ta có:
\(2\left(AB+BC+CD+AD\right)>2\left(CA+BD\right)=2\left(AO+OC+OD+OB\right)\)
\(\Leftrightarrow AB+BC+CD+DA>OA+OB+OC+OD\) ( 2 )
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) suy ra đpcm.
Đúng 0
Bình luận (0)
cho tứ giác ABCD. O là một điểm bất kỳ nằm trong tứ giác. Tìm vị trí của điểm O để OA+OB+OC+OD có giá trị nhỏ nhất