Em ghi đề thiếu!

a: \(H=6x^3y^4-2x^4y^2+3x^2y^2+5x^4y^2-A\cdot x^3y^4\)

\(=x^3y^4\left(6-A\right)+x^4y^2\left(5-2\right)+3x^2y^2\)

\(=\left(6-A\right)\cdot x^3y^4+x^4y^2\cdot3+3x^2y^2\)

Để H có bậc là 6 thì 6-A=0

=>A=6

b: Khi A=6 thì \(H=\left(6-6\right)\cdot x^3y^4+3x^4y^2+3x^2y^2\)

\(=3x^4y^2+3x^2y^2\)

\(=3x^2y^2\left(x^2+1\right)\)

\(x^2+1>1>0\forall x\ne0\)

\(x^2>0\forall x\ne0\)

\(y^2>0\forall y\ne0\)

Do đó: \(x^2y^2\left(x^2+1\right)>0\forall x,y\ne0\)

=>\(H=3x^2y^2\left(x^2+1\right)>0\forall x,y\ne0\)

=>H luôn dương khi x,y khác 0

Giả sử P( x ) có ít nhất 3 nghiệm phân biệt : x₁ ; x₂ ; x₃

 \( \implies\) P( x₁ ) = 0 \(\iff\) ax₁² + bx₁ + c = 0 ( 1 )

          P( x₂ ) = 0 \(\iff\) ax₂² + bx₂ + c = 0 ( 2 )

          P( x₃ ) = 0 \(\iff\) ax₃² + bx₃ + c = 0 ( 3 )

+)Lấy ( 1 ) - ( 2 ) vế với vế ta được : ( ax₁² + bx₁ + c ) - ( ax₂² + bx₂ + c ) = 0

                                                \( \implies\)  ax₁² + bx₁ - ax₂² - bx₂  = 0

                                                \( \implies\) ( ax₁² - ax₂² ) + ( bx₁ - bx₂ ) = 0

                                                \( \implies\) a( x₁² - x₂² ) + b( x₁ - x₂ ) = 0

                                                \( \implies\) a( x₁ - x₂ )( x₁ + x₂ ) + b(x₁ - x₂ ) = 0

                                                \( \implies\) ( x₁ - x₂ ) [ a( x₁ + x₂ ) + b ] = 0

 Mà x₁ - x₂ khác 0   \( \implies\)   a( x₁ + x₂ ) + b = 0 ( 4 )

+)Lấy ( 1 ) - ( 3 )  vế với vế ta được : ( ax₁² + bx₁ + c ) - ( ax₃² + bx₃ + c ) = 0   

                                                \( \implies\) ax₁² + bx₁ - ax₃² - bx₃  = 0

                                                \( \implies\) ( ax₁² - ax₃² ) + ( bx₁ - bx₃ ) = 0

                                                \( \implies\) a( x₁² - x₃² ) + b( x₁ - x₃ ) = 0

                                                \( \implies\) a( x₁ - x₃ )( x₁ + x₃ ) + b(x₁ - x₃ ) = 0

                                                \( \implies\) ( x₁ - x₃ ) [ a( x₁ + x₃ ) + b ] = 0

 Mà x₁ - x₃ khác 0   \( \implies\)   a( x₁ + x₃ ) + b = 0 ( 5 )            

+)Lấy ( 4 ) - ( 5 )  vế với vế ta được : [ a( x₁ + x₂ ) + b ] - [ a( x₁ + x₃ ) + b ] = 0 

                                                \( \implies\) a( x₁ + x₂ ) + b - a( x₁ + x₃ ) - b  = 0

                                                \( \implies\) a( x₁ + x₂ ) - a( x₁ + x₃ ) = 0

                                                \( \implies\) a( x₁ + x₂ -  x₁ - x₃ ) = 0 

                                                \( \implies\) a ( x₂ - x₃ ) = 0

  Mà x₂ - x₃ khác 0   \( \implies\)   a = 0 ( vô lý )

  Vậy P( x ) luôn không có quá 2 nghiệm phân biệt                      

sai vì có những trường hợp đa thức không có nghiêm nào.

ví dụ: 

\(x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge0\)

vậy phương trình vô nghiệm.

theo đầu bài thì đa thức trên phải có hai nghiệm, nhưng theo chứng minh trên thì đa thức không có nghiệm nào (tức là số nghiệm của 1 đa thức một biến không phải lúc nào cũng bằng số bậc của đa thức)

yếu quá

HasAki nè