d: \(SA^2=SB\cdot SC\)

\(SE^2=SB\cdot SC\)

=>SA=SE

Xét ΔOAS và ΔOES có

OA=OE

SA=SE

OS chung

Do đó: ΔOAS=ΔOES

=>\(\widehat{OAS}=\widehat{OES}\)

mà \(\widehat{OAS}=90^0\)

nên \(\widehat{OES}=90^0\)

=>E nằm trên đường tròn đường kính SO

mà S,A,O,D cùng thuộc đường tròn đường kính SO(cmt)

nên E nằm trên đường tròn (SAOD)

a: M là điểm chính giữa của cung BC

=>\(sđ\stackrel\frown{MB}=sđ\stackrel\frown{MC}\) và MB=MC

Xét (O) có

\(\widehat{CAM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

\(\widehat{BAM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM

\(sđ\stackrel\frown{CM}=sđ\stackrel\frown{BM}\)

Do đó: \(\widehat{CAM}=\widehat{BAM}\)

=>AM là phân giác của góc BAC

b: Xét (O) có

\(\widehat{SAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AS và dây cung AC

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{SAC}=\widehat{ABC}=\widehat{SBA}\)

Xét ΔSAC và ΔSBA có

\(\widehat{SAC}=\widehat{SBA}\)

\(\widehat{ASC}\) chung

Do đó: ΔSAC đồng dạng với ΔSBA

=>\(\dfrac{SA}{SB}=\dfrac{SC}{SA}\)

=>\(SA^2=SB\cdot SC\)

c: Xét (O) có

góc CKA là góc có đỉnh ở trong đường tròn chắn cung AC và BM

=>\(\widehat{CKA}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AC}+sđ\stackrel\frown{BM}\right)\)

=>\(\widehat{SKA}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AC}+sđ\stackrel\frown{CM}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{AM}\)

mà \(\widehat{SAK}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{AM}\)(góc tạo bởi tiếp tuyến SA và dây cung AM)

nên \(\widehat{SAK}=\widehat{SKA}\)

=>SA=SK

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC

=>OM\(\perp\)BC tại D

Xét tứ giác SAOD có

\(\widehat{SAO}+\widehat{SDO}=90^0+90^0=180^0\)

nên SAOD là tứ giác nội tiếp

=>S,A,D,O cùng thuộc một đường tròn

1)Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ở I. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O)

 ~~~~~~~~~ Bài làm ~~~~~~~~~

Ta có: \(\widehat{HBD}=\widehat{DAC}\) (Cùng phụ với \(\widehat{ACB}\))

\(\widehat{KBD}=\widehat{DAC}\)( Góc nối tiếp cùng chắn cung \(KC\))

\(\Rightarrow\widehat{HBD}=\widehat{KBD}\)

Ta lại có: \(BD\perp HK\)

\(\Rightarrow BD\) là đường trung trực của \(HK\)

\(\Rightarrow\Delta IHK\) cân tại \(I\)

\(\Rightarrow\widehat{BKD}=\widehat{BHD}=\widehat{AHQ}\)

Lại có:\(\widehat{DKO}=\widehat{HAO}\)( \(\Delta OKA\) cân tại \(O\))

Vì vậy: \(\widehat{DKO}+\widehat{BKD}=\widehat{HAO}+\widehat{AHQ}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{KIO}=90^0\)

\(\Rightarrow IK\)là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(O\right)\)

(Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa cái hình vẽ gần cả tiếng đồng hồ :)) )

Ủa bạn ơi sao phụ nhau? Dòng đầu ấy

Đúng rồi bạn. Phụ nhau ý nghĩa là ^HBD + ^ACB = 90^0 và tương tự như góc kia. (Tam giác vuông ý)

\(\widehat{BKC}=\widehat{BHC}\left(=90^0\right)\) nên HKBC nội tiếp đường tròn