a: \(BC=\sqrt{9^2+6^2}=3\sqrt{13}\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{6\cdot9}{3\sqrt{13}}=\dfrac{18\sqrt{13}}{13}\left(cm\right)\)

b: Xét ΔEBF vuông tạiE và ΔEDC vuông tại E có

\(\widehat{EBF}=\widehat{EDC}\)

Do đó: ΔEBF\(\sim\)ΔEDC

d: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuông tại E có

BD chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)

Do đó: ΔBAD=ΔBED

Suy ra: BA=BE và DA=DE

Xét ΔADF vuông tại A và ΔEDC vuông tại E có

DA=DE

\(\widehat{ADF}=\widehat{EDC}\)

DO đó: ΔADF=ΔEDC

Suy ra: AF=EC

=>BF=BC

=>ΔBFC cân tại B

mà BD là đường phân giác

nên BD la đường cao

 a/ có: AB = AC 
BD = CE 
=> AB / BD = AC / CE 
theo định lí đảo Thales ta suy ra: DE // BC (đpcm) 
b/ có: MBD và NCE là hai tgiác vuông có cạnh huyền bằng nhau là: 
BD = CE. 
mặt khác do tính chất góc đối đỉnh ta có: 
gócMBD = gócABC; gócNCE = gócACB 
mà gócABC = gócACB (ABC là tgiác cân) 
=> gócMBD = gócNCE 
=> tgiácMBD = tgiácNCE 
=> DM = EN (đpcm) 
c/ Gọi K là trung điểm BC, do ABC là tgiác cân nên AK vuông BC (đường trung tuyến cũng là đường cao) 
có BK = KC 
mà MB = NC (tgiác MBD = tgiác NCE) 
=> MB + BK = KC + CN 
=> MK = KN 
hiển nhiên AK vuông MN 
tgiác AMN có AK vừa đường cao vừa trung tuyến nên là tgiác cân. 
d/ IB cắt AM tại P, IC cắt AN tại Q 
ta dể cm ABM và ACN là hai tgiác bằng nhau (có ba cạnh tương ứng bằng nhau đôi một) 
nên hai đường cao tương ứng bằng nhau, tức là: 
BP = CQ 
=> tgiác PAB = tgiác QAC (hai tgiác vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau) 
=> AP = AQ 
xét hai tgiác PAI có QAI là hai tgiác vuông có cạnh huyền:AI chung và 
AP = AQ 
=> tgiác API = tgiác QAI 
=> góc PAI = góc QAI 
mà do ta có hai tgiác bằng nhau nên: 
góc PAB = góc QAC 
=>góc BAI = góc CAI 
Vậy: AI là tia phân giác của góc BAC và góc MAN. 
*Đúng thật bài này cũng dể, em làm không được thì thấy lo rồi, nhưng đã post lên đây là có ý học hỏi. các Bác ở trên đừng nên nặng lời như vậy. người ta đánh kẻ chạy đi chứ không ai đánh kẻ chạy lại bao giờ. Chỉ đáng thương cho kẻ không biết mình ngu ở đâu...

a.

Xét ▲ ADB và ▲AEC có:

góc D = E = 90^o

góc A chung

Do đó: ▲ADB ~ ▲AEC (g.g)

b.

Ta có: ▲ADB~▲AEC

=> \(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow AD.AC=AE.AB\)

c.

Xét ▲ABC và ▲ADE có:

góc A chung

\(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AE}{AC}\) ( ▲ABD~▲AEC)

Do đó: △ABC ~ △ADE ( c.g.c)

Ta có góc A = 60^o

=> \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{1}{2}\)

Tỉ số diện tích là:

\(\dfrac{S_{\Delta ADE}}{S_{\Delta ABC}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

=> S_▲ADE = \(\dfrac{1}{4}.120=30\left(cm^2\right)\)

d.

Vẽ AH ⊥ BC tại M

Xét ▲BCD và ▲BHM có:

góc B chung

góc D = M = 90^o

Do đó: ▲BCD~BHM (g.g)

=> \(\dfrac{BC}{BH}=\dfrac{BD}{BM}\Rightarrow BC.BM=BH.BD\) (1)

Xét ▲CMH và ▲CEB có:

góc C chung

góc M = E = 90^o

Do đó: ▲CMH~▲CEB ( g.g)

=> \(\dfrac{MH}{EB}=\dfrac{CH}{CB}\Rightarrow MH.CB=EB.CH\) (2)

Từ (1) và (2) cộng vế theo vế ta được:

\(BC.BM+CH.CB=BH.BD+EB.CH\)

\(\Rightarrow BC\left(BM+CM\right)=BH.BD+EB.CH\)

\(\Rightarrow BC^2=BH.BD+EB.CH\)

=> ĐPCM