Giải:

Giả sử \(P\left(x\right)=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g\)

Ta có:

\(P\left(1\right)=P\left(-1\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c+d+e+f+g=a-b+c-d+e-f+g\)

\(\Rightarrow b+d+f=0\left(1\right)\)

Tương tự:

\(P\left(2\right)=P\left(-2\right)\)

\(\Rightarrow2^5b+2^3d+2f=-2^5b-2^3d-2f\)

\(\Rightarrow16b+4d+f=0\left(2\right)\)

\(P\left(3\right)=P\left(-3\right)\)

\(\Rightarrow3^5b+3^3d+3f=-3^5b-3^3d-3f\)

\(\Rightarrow3^4b+3^2d+f=0\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\)

Suy ra \(b=d=f=0\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)\) là đa thức chỉ có bậc chẵn

Vậy \(P\left(x\right)=P\left(-x\right)\)

Giả sử \(P\left(x\right)=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g\)

\(P\left(1\right)=P\left(-1\right)\Rightarrow a+b+c+d+e+f+g=a-b+c-d+e-f+g\)

\(\Rightarrow b+d+f=0\)(1)

Tương tự; \(P\left(2\right)=P\left(-2\right)\Rightarrow2^5b+2^3d+2f=-2^5b-2^3d-2f\)

\(\Rightarrow16b+4d+f=0\)(2)

\(P\left(3\right)=P\left(-3\right)\Rightarrow3^5b+3^3d+3f=-3^5b-3^3d-3f\)

\(\Rightarrow3^4b+3^2d+f=0\)(3)

Từ 1,2,3 suy ra \(b=d=f=0\)

Suy ra P(x) là đa thức chỉ có bậc chẵn => P(x) = P(-x) với mọi x thuộc R

đúng rồi

Đặt P(x)=ax3+bx2+cx+dP(x)=ax3+bx2+cx+d

P(x)P(x) chia cho (x−1),(x−2),(x−3)(x−1),(x−2),(x−3) đều dư 66 nên P(1)=P(2)=P(3)=6P(1)=P(2)=P(3)=6

Ta có:

P(1)=6⇒a+b+c+d=6P(2)=6⇒8a+4b+2c+d=6P(3)=6⇒27a+9b+3c+d=6P(−1)=−a+b−c+d=−18−1)=−a+b−c+d=−18

Giải hệ trên ta được a=1;b=−6;c=11;d=0⇒P(x)=x3−6x2+11x

Ta có: f(x)=ax²+bx+c

Vì f(5)=f(-5) nên 25a²+5b+c=25a²-5b+c

=> 5b=-5b; 5b+5b=0 ; 10b=0 ;b=0

Vậy f(x)=ax²+c.Ta có f(-x)=a(-x)²+c=ax²+c

Vì vậy f(x)=f(-x)

Hok tốt!

f(x) = ax² + bx + c

vì f(5) = f(-5) nên 25a² + 5b + c = 25a² - 5b + c

suy ra : 5b = -5b ; 5b + 5b = 0 ; 10b = 0 ; b = 0

Vậy f(x) = ax² + c .

Ta có f(-x) = a(-x)² + c = ax² + c

do đó f(x) = f(-x)

f(x) = ax
2 + bx + c
vì f(5) = f(-5) nên 25a
2 + 5b + c = 25a
2
- 5b + c
suy ra : 5b = -5b ; 5b + 5b = 0 ; 10b = 0 ; b = 0
Vậy f(x) = ax
2 + c .
Ta có f(-x) = a(-x)2 + c = ax
2 + c
do đó f(x) = f(-x)