Question

cho p(x) là đa thức bậc 6. biết p(1)=p(-1); p(2)=p(-2); p(3)=p(-3). chứng minh p(x)= p(-x) với mọi x thuộc số tự nhiên.

Answer 1

Giải:

Giả sử \(P\left(x\right)=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g\)

Ta có:

\(P\left(1\right)=P\left(-1\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c+d+e+f+g=a-b+c-d+e-f+g\)

\(\Rightarrow b+d+f=0\left(1\right)\)

Tương tự:

\(P\left(2\right)=P\left(-2\right)\)

\(\Rightarrow2^5b+2^3d+2f=-2^5b-2^3d-2f\)

\(\Rightarrow16b+4d+f=0\left(2\right)\)

\(P\left(3\right)=P\left(-3\right)\)

\(\Rightarrow3^5b+3^3d+3f=-3^5b-3^3d-3f\)

\(\Rightarrow3^4b+3^2d+f=0\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\)

Suy ra \(b=d=f=0\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)\) là đa thức chỉ có bậc chẵn

Vậy \(P\left(x\right)=P\left(-x\right)\)