Ước nguyên dương của 6=(1,2,3,6)
Với x-1=1 và y-3=6
=>x=2,y=9(T/m)

Với x-1=6,y-3=1
=>x=7,y=4(T/m)

Với x-1=2,y-3=3
=>x=3,y=6(T/m)

Với x-1=3,y-3=2

=>x=4,y=5(T/m)

Vậy các cặp số tự nhiên x,y thỏa mãn là (2,9;7,4;3,6;4,5)

\(\Rightarrow\left(x-1\right),\left(y-3\right)\inƯ\left(6\right)=\left\{1;2;3;6\right\}\)

Lập bảng:

=> Tất cả các cặp thoả mãn. Vậy các cặp (x;y) thoả mãn là: (2;9); (3;6); (4;5); (7;4)

theo bài ra ta có 
n = 8a +7=31b +28 
=> (n-7)/8 = a 
b= (n-28)/31 
a - 4b = (-n +679)/248 = (-n +183)/248 + 2 
vì a ,4b nguyên nên a-4b nguyên => (-n +183)/248 nguyên 
=> -n + 183 = 248d => n = 183 - 248d (vì n >0 => d<=0 và d nguyên ) 
=> n = 183 - 248d (với d là số nguyên <=0) 
vì n có 3 chữ số lớn nhất => n<=999 => d>= -3 => d = -3 
=> n = 927

x+6=y(x+1)

6=xy+y-x

6=x(y-1)+y

6-1=x(y-1)+(y-1)  (trừ cả 2 vế đi 1)

5=(x+1)(y-1)

ta có bảng sau:|

6(1-x)+4(2-x)<=3(1-3x)

=>6-6x+8-4x<=3-9x

=>-10x+14<=-9x+3

=>-x<=-11

=>x>=11

(1-2x)/4-2<-5x/8

=>2-4x-16<-5x

=>-4x-14<-5x

=>x<14

Số tự nhiên x thỏa mãn cả hai BPT khi và chỉ khi 11<=x<14

=>\(x\in\left\{11;12;13\right\}\)

\(2xy-3y+3x=7\)

\(\Leftrightarrow4xy-6y +6x=14\)

\(\Leftrightarrow2y\left(2x-3\right)+6x-9=5\)

\(\Leftrightarrow2y\left(2x-3\right)+3\left(2x-3\right)=5\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3\right)\left(2y+3\right)=5\)

Vì \(x,y\in N\)\(\Rightarrow2y+3\ge3\)\(\Rightarrow2y+3\inƯ\left(5\right)=\left\{5\right\}\)

\(\Rightarrow2y+3=5\Leftrightarrow y=1\)

\(\Rightarrow\left(2x-3\right)\left(2+3\right)=5\)

\(\Leftrightarrow2x-3=1\)

\(\Leftrightarrow x=2\)