Để phân số \(\dfrac{n}{n-2}\) là số nguyên thì \(n⋮n-2\)

\(\Leftrightarrow n-2+2⋮n-2\)

mà \(n-2⋮n-2\)

nên \(2⋮n-2\)

\(\Leftrightarrow n-2\inƯ\left(2\right)\)

\(\Leftrightarrow n-2\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

hay \(n\in\left\{3;1;4;0\right\}\)

Vậy: \(n\in\left\{3;1;4;0\right\}\)

Ta có : 

\(\dfrac{n}{n-2}\in Z\)

\(\Leftrightarrow n⋮n-2\)

Mà \(n-2⋮n-2\)

\(\Leftrightarrow2⋮n-2\)

\(\Leftrightarrow n-2\inƯ\left(2\right)\)

Ta có các TH :

+) \(n-2=1\Leftrightarrow n=3\)

+) \(n-2=-1\Leftrightarrow n=1\)

+) \(n-2=2\Leftrightarrow n=4\)

+) \(n-2=-2\Leftrightarrow n=0\)

Vậy...

Để \(\dfrac{n}{n-2}\)là 1 số nguyên thì n \(⋮\)n - 2

\(\Rightarrow\) n - 2 + 2 \(⋮\)n - 2

\(\Rightarrow\) 2 \(⋮\)n - 2

\(\Rightarrow n-2\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{3;1;4;0\right\}\)

gfvfvfvfvfvfvfv555

a, Để \(\dfrac{n+1}{n-2}\) có giá trị là một số nguyên thì n + 1 ⋮ n - 2

=> (n - 2) + 3 ⋮ n - 2

 Vì (n - 2) ⋮ n - 2 nên 3 ⋮ n - 2

=> n - 2 ∈ Ư(3) ∈ {-3;-1;1;3}

 => n ∈ {-1;1;3;5}

b, Để \(\dfrac{4n+5}{2n-1}\) có giá trị là một số nguyên thì 4n + 5 ⋮ 2n - 1

=> (4n - 2) + 7 ⋮ 2n - 1

=> 2(2n - 1) + 7 ⋮ 2n - 1

 Vì 2(2n - 1) ⋮ 2n -1 nên 7 ⋮ 2n - 1

=> 2n - 1 ∈ Ư(7) ∈ {-7;-1;1;7}

=> n ∈ {-3;0;1;4}

a) n ∈ Z và n ≠ –2

b) HS tự làm

c) n ∈ {-3;-1}

Mình làm phần 1. Phần 2 bạn dựa vào đó mà làm.

Để \(\frac{12}{7n+1}\) rút gọn được thì 7n + 1 phải chia hết cho 1 ước số lớn hơn 1 của 12

Ư(12) = { 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 }

Để 7n + 1 chia hết cho 2 thì n lẻ;

Để 7n+ 1chia hết cho 4 thì 7n chia 4 dư 3; mà 7 chia 4 dư 3 nên n chia 4 dư 1 

Để  7n+1 chia hết cho 3 thì 7n chia 3 dư 2; mà 7 chia 3 dư 1 nên n chia 3 dư 2

Để 7n+1 chia hết cho 6 thì 7n chia 6 dư 5; mà 7 chia 6 dư 1 nên n chia 6 dư 5

Để 7n+1 chia hết cho 12; thì n phải chia hết cho 4 và 3; tức n chia 4 dư 1; chia 3 dư 2; hay chia 12 dư 5 .

Vậy ...

\(\frac{2n+3}{n+2}=\frac{2n+4-1}{n+2}=2-\frac{1}{n+2}\inℤ\)

mà \(n\inℤ\Rightarrow n+2\inƯ\left(1\right)=\left\{-1;1\right\}\Leftrightarrow n\in\left\{-3;-1\right\}\).