Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>CB\(\perp\)CA tại C

=>CB là tiếp tuyến của (A;AC)

Xét (A;AC) có

\(\widehat{BCE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CB và dây cung CE)

\(\widehat{CDE}\) là góc nội tiếp chắn cung CE

Do đó: \(\widehat{BCE}=\widehat{CDE}\)

Xét (O) có

\(\widehat{CBE}\) là góc nội tiếp chắn cung CN

\(\widehat{CDN}\) là góc nội tiếp chắn cung CN

Do đó: \(\widehat{CBE}=\widehat{CDN}\)

mà \(\widehat{BCE}=\widehat{CDE}\)

nên \(\widehat{CBE}+\widehat{BCE}=\widehat{CDN}+\widehat{CDE}=\widehat{NDE}\left(1\right)\)

Xét ΔCEB có \(\widehat{CEN}\) là góc ngoài tại đỉnh E

nên \(\widehat{CEN}=\widehat{CBE}+\widehat{BCE}\left(2\right)\)

Từ(1) và (2) suy ra \(\widehat{CEN}=\widehat{NDE}\)

AC=AD

=>A nằm trên đường trung trực của CD(3)

OC=OD

=>O nằm trên đường trung trực của CD(4)

Từ (3) và (4) suy ra OA là đường trung trực của CD

=>BA là đường trung trực của CD

=>\(sđ\stackrel\frown{BC}=sđ\stackrel\frown{BD}\)

Xét (O) có

\(\widehat{BNC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

\(\widehat{BND}\) là góc nội tiếp chắn cung BD

\(sđ\stackrel\frown{BC}=sđ\stackrel\frown{BD}\)

Do đó: \(\widehat{BNC}=\widehat{BND}\)

Xét ΔCEN và ΔEDN có

\(\widehat{CEN}=\widehat{EDN}\)

\(\widehat{CNE}=\widehat{END}\)

Do đó: ΔCEN đồng dạng với ΔEDN

=>\(\dfrac{NC}{NE}=\dfrac{NE}{ND}\)

=>\(NE^2=NC\cdot ND\)

a) Do D thuộc đường tròn (O), AB là đường kính nên \(\widehat{BDC}=90^o\Rightarrow BD\perp AC\)

Xét tam giác vuông ABC, đường cao BD ta có:

\(AB^2=AD.AC\)  (Hệ thức lượng)

b) Xét tam giác BEC có O là trung điểm BC; OH // CE nên OH là đường trung bình của tam giác. Vậy nên H là trung điểm BE.

Ta có OH // CE mà CE vuông góc AB nên \(OH\perp BE\)

Xét tam giác ABE có AH là trung tuyến đồng thời đường cao nên nó là tam giác cân.

Hay AB = AE.

Từ đó ta có \(\Delta ABO=\Delta AEO\left(c-c-c\right)\Rightarrow\widehat{OEA}=\widehat{OBA}=90^o\)

Vậy AE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) Xét tam giác vuông OBA đường cao BH, ta có:

\(OB^2=OH.OA\) (Hệ thức lượng)

\(\Rightarrow OC^2=OH.OA\Rightarrow\frac{OH}{OC}=\frac{OC}{OA}\)

Vậy nên \(\Delta OHC\sim\Delta OCA\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{OHC}=\widehat{OCA}\)

d) Ta thấy \(\widehat{OCF}=\widehat{FCE}\left(=\widehat{OFC}\right)\)

Lại có \(\widehat{OCH}=\widehat{ACE}\left(=\widehat{OAC}\right)\)

Nên \(\widehat{HCF}=\widehat{FCA}\) hay CF là phân giác góc HCA.

Xét tam giác HCA, áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:

\(\frac{HF}{FA}=\frac{HC}{CA}\Rightarrow FA.HC=HF.CA\left(đpcm\right)\)

ở phần c còn cạnh nào nữa để 2 tam giác đấy đồng dạng vậy cậu

TRUONG LINH ANH: Hệ thức đó là tỉ lệ tương ứng giữa hai cạnh bằng nhau rồi đó em.

a. b.

c. - Đường tròn (O’; 1cm) có đường kính là: EF; Các dây cung là: EA, EB, AB, FA, FB

Vì E thuộc (O’; 1cm) nên EO’=1cm; EF=2.EO’=2cm

- Đường tròn (O; 1,5cm) có đường kính là: DC; Các dây cung là: DA, DB, AB, AC, CB

Vì C thuộc (O; 1,5cm) nên CO=1,5cm; DC=2.CO=3cm

d. Vì đường tròn (O’; 1cm) cắt đoạn thẳng OO’ tại E, nên E nằm giữa 2 điểm O và O’.

Ta có: O E + E O ' = O O ' ⇒ O E = 1 c m  

Mà EO’=1cm, nên OE=EO’ (=1cm)

Do đó: E là trung điểm của đợn thẳng OO’.

e. Vì đường tròn (O; 1cm) cắt đường thẳng OO’ tại D, đường tròn (O’; 1cm) cắt đường thẳng OO’ tại F, nên 4 điểm D, O, O’, F lần lượt theo thứ tự đó và DO=1,5cm; O’F=1cm.

Ta có: D F = D O + O O ' + O ' F = 1 , 5 + 2 + 1 = 4 , 5 c m .

Vậy DF=4,5cm

a: Xét ΔOAC và ΔOBC có
OA=OB

\(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\)

OC chung

Do đó: ΔOAC=ΔOBC

Suy ra: \(\widehat{OAC}=\widehat{OBC}=90^0\)

hay BC là tiếp tuyến của (O)

b: Xét (O) có

ΔABD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔABD vuông tại A

Suy ra: BA⊥AD

mà AB⊥OC

nên AD//OC