a: \(AH=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

HC=12cm

BC=16cm

a.     + CH = 10 - 3.6 = 6.4 (cm)

     - Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vào ΔABC ta có :

         + \(AH^2=BH.CH\)

      \(\Rightarrow AH=\sqrt{BH.CH}=\sqrt{3,6.6,4}=4.8\) (cm)

         + \(AB^2=BC.BH\)

      \(\Rightarrow AB=\sqrt{BC.BH}=\sqrt{10.3,6}=6\) (cm)

       + \(AC^2=BC.CH\)

      \(\Rightarrow AC=\sqrt{BC.CH}=\sqrt{10.6,4}=8\) (cm)

b.       \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}.6.8=24\left(cm^2\right)\)

c.       \(P_{ABC}=AB+AC+BC=6+8+10=24\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{2\cdot AB}{BC}=\dfrac{2\cdot2\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}\left(cm\right)\)

\(BH=CH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{8-2}=\sqrt{6}\left(cm\right)\)

Ta có : BH + CH = 64 + 81 = 145 (cm) 

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao , ta có :

+) \(AB^2=BH.CH\)

\(\Leftrightarrow AB^2=64.145=9280\)

\(\Leftrightarrow AB=\sqrt{9280}=8\sqrt{145}\left(cm\right)\)

+) \(AC^2=BC.CH\)

\(\Leftrightarrow AC^2=81.145=11745\)

\(\Leftrightarrow AC=\sqrt{11745}=9\sqrt{145}\left(cm\right)\)

Ta có : 

\(\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{9\sqrt{145}}{145}=\frac{9}{\sqrt{145}}\)

\(\Rightarrow\widehat{B}=48^o22'\)( cái này bấm máy ra nha )

Xét tam giác ABC có :

\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{C}=180^o-90^o-48^o22'=41^o38'\)

Vậy .......

Hình vẽ chung cho cả ba bài.

Bài 1:

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{15^2}+\frac{1}{20^2}=\frac{1}{144}\)

\(\Rightarrow AH^2=144\Rightarrow AH=12\)

\(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9\)

\(CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}=16\)

\(\Rightarrow BC=BH+CH=9+16=25\)

Bài 2,3 bạn nhìn hình vẽ và sử dụng hệ thức lượng để tính tiếp như bài 1.

Bài 2:                                                    Bài giải

Đặt BH = x (0 < x < 25) (cm) => CH = 25 - x (cm)

Ta có : \(AH^2=BH\cdot CH\text{ }\Rightarrow\text{ }x\left(25-x\right)=144\text{ }\Rightarrow\text{ }x^2-25x+144=0\)

\(\left(x-9\right)\left(x-16\right)=0\text{ }\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=9\\x=16\end{cases}}\left(tm\right)\)

Nếu BH = 9 cm thì CH = 16 cm \(\Rightarrow\text{ }AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\text{ }\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20\text{ }\left(cm\right)\)

Nếu BH = 16 cm thì CH = 9 cm

\(\Rightarrow\text{ }AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20\text{ }\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\text{ }\left(cm\right)\)

bạn cho mình hỏi tại sao AH² =BH.HC??

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\\AH^2=HB\cdot HC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=8\left(cm\right)\\AC=6\left(cm\right)\\AH=4,8\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: \(S_{ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{8\cdot6}{2}=24\left(cm^2\right)\)

AH^2=BH.CH=9.16=144

suy ra AH=12 và là đáp án đấy

a:ΔAHB vuông tại H

=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AH^2+6^2=10^2\)

=>\(AH^2+36=100\)

=>\(AH^2=64\)

=>AH=8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BC\cdot6=10^2=100\)

=>\(BC=\dfrac{100}{6}=\dfrac{50}{3}\left(cm\right)\)

b: Xét tứ giác AMHN có

\(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)

Do đó: AMHN là hình chữ nhật

c: Xét ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(HM\cdot AB=HA\cdot HB\)

=>\(HM\cdot10=6\cdot8=48\)

=>HM=48/10=4,8(cm)

Xét ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\)

=>\(AM\cdot10=8^2=64\)

=>AM=6,4(cm)

AMHN là hình chữ nhật

=>\(S_{AMHN}=HM\cdot AM=4,8\cdot6,4=30,72\left(cm^2\right)\) và \(C_{AMHN}=\left(HM+AM\right)\cdot2=\left(4,8+6,4\right)\cdot2=22,4\left(cm\right)\)

d: Xét ΔABC vuông tại A có

\(sinC=\dfrac{AB}{BC}\)

=>\(AB=BC\cdot sinC\)

ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot AB=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\cdot sinC\)