a: Xét (O) có

DB,DC là tiếp tuyến

=>DB=DC

DB=DC

OB=OC

Do đó: OD là đường trung trực của BC

=>OD vuông góc BC

b: Xét (O) có

DB,DC là tiếp tuyến

Do đó: DO là phân giác của góc CDB

BC//GE

DO vuông góc BC

Do đó: DO vuông góc GE

Xét ΔDGE có

DO vừa là đường cao, vừa là đường phân giác

Do đó: ΔDGE cân tại D

=>DG=DE

ΔDGE cân tại D

mà DO là đường cao

nên O là trung điểm của GE

=>OG=OE

c: OG//BC

=>góc AOG=góc ABC(đồng vị) và góc COG=góc OCB(hai góc so le trong)

mà góc ABC=góc OCB

nên góc AOG=góc COG

=>OG là phân giác của góc COA

Xét ΔOCG và ΔOAG có

OC=OA

góc COG=góc AOG

OG chung

Do đó: ΔOCG=ΔOAG

=>góc OAG=góc OCG=90 độ

=>AG là tiếp tuyến của (O)

Bạn vẽ hình ra nha,mình sẽ giải cho bạn

Gọi S là trung điểm của đoạn OM, H là hình chiếu của S trên DE. Khi đó khoảng cách từ S đến DE là SH.

Ta sẽ chỉ ra SH = const, thật vậy: Do BM,CM là các tiếp tuyến tại B,C của (O) nên ^OBM = ^OCM (=90⁰)

=> Tứ giác BOCM nội tiếp (OM). Ta cũng có: ^MEC = ^BAC (Vì ME // AB)

Theo tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây có ^BAC = ^MBC. Do đó ^MEC = ^MBC

=> Tứ giác MCEB nội tiếp. Tương tự, tứ giác MBDC nội tiếp

Từ đó sáu điểm B,D,O,E,C,M cùng thuộc đường tròn (OM) tâm là S => SD = SE = OM/2

Ta lại có OM² = OC² + CM² = const (Vì O,C,M cố định) => SD = SE = const

Mặt khác ^DSE = 2^DME = 2^BAC = Sđ(BC = const => ^SDE = const => Sin^DSE = const

Hay \(\frac{SH}{SD}=const\). Mà SD không đổi nên SH không đổi => H cách S một khoảng không đổi

Ta thấy S cố định => (S;SH) cố định. Do DE vuông góc SH tại H nên DE luôn tiếp xúc với (S;SH) cố định (đpcm).

∆ ACB nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên  ∆ ABC vuông tại C

CO = OA = (1/2)AB (tính chất tam giác vuông)

AC = AO (bán kính đường tròn (A))

Suy ra: AC = AO = OC

∆ ACO đều góc AOC = 60 °

∆ ADB nội tiếp trong đường tròn đường kính AB nên  ∆ ADB vuông tại D

DO = OB = OA = (1/2)AB (tính chất tam giác vuông)

BD = BO(bán kính đường tròn (B))

Suy ra: BO = OD = BD

∆ BOD đều

1. CMR tứ giác CKMH là tứ giác nội tiếp.

AMB = 90o (vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). => AM ⊥ MB. Mà CD // BM (theo đề) nên CD ⊥ AM . Vậy MKC = 90o.

 Cung AM = cung CM (gt) => OM ⊥ AC => MHC = 90o.

 Tứ giác CKMH có MKC + MHC = 180o nên nội tiếp được trong một đường tròn.

2. CMR: CD = MB ; DM = CB.

Ta có: ACB = 90o (vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)                                 

Suy ra DM // CB . Lại có  CD // MB nên CDMB là một hình bình hành. Từ đó ta suy ra: CD = MB và  DM = CB.  

3. Ta có: AD là một tiếp tuyến của đường tròn (O) ⇔ AD ⊥ AB. ΔADC có AK vuông góc với CD và DH vuông góc với AC nên điểm M là trực tâm tam giác . Suy ra: CM ⊥ AD. 
 

Vậy AD ⊥ AB ⇔ CM // AB ⇔ cung AM = cung BC.

Mà AM = MC nên cung AM = cung BC ⇔ AM = cung MC = cung BC = 60⁰

a: Sửa đề: cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở C

ΔOAB cân tại O

mà OC là đường cao

nên OC là phân giác của góc AOB

Xét ΔOAC và ΔOBC có

OA=OB

\(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\)

OC chung

Do đó: ΔOAC=ΔOBC

=>\(\widehat{OAC}=\widehat{OBC}=90^0\)

=>CB là tiếp tuyến của (O)

b:ΔOAC=ΔOBC

=>CB=CA

=>C nằm trên đường trung trực của AB(1)

OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

từ (1) và (2) suy ra OC là đường trung trực của BA

=>OC\(\perp\)AB

mà OC//AD

nên AB\(\perp\)AD

=>ΔABD vuông tại A

Ta có: ΔABD vuông tại A

=>ΔABD nội tiếp đường tròn đường kính DB

mà ΔABD nội tiếp (O)

nên O là trung điểm của DB

=>D,O,B thẳng hàng

Xét ΔAKD vuông tại K và ΔCAO vuông tại A có

\(\widehat{ADK}=\widehat{COA}\)(hai góc so le trong, AD//CO)

Do đó: ΔAKD\(\sim\)ΔCAO