M=4(x - 2)(x - 1)(x + 4)(x + 8) + 25x²

M=4 ( x - 2 )( x  +  4 ).( x  -  1 )( x  +  8 )+ ( 5x )²

M=4 ( x² + 2x - 8 )( x² + 7x - 8 ) + ( 5x )² (1)

Đặt t = x² + 7 x - 8, khi đó (1) trở thành:

M=4( t - 5x ).t + ( 5x )²

M=4t²  - 20tx + ( 5x )²

M=( 2t - 5x )²

Thay t = x² + 7x - 8 ta được: M= (2x² +  9x - 16)²  >= 0

Vậy M luôn không có giá trị âm.

\(M=4\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+8\right)+25x^2=4\left[\left(x-1\right)\left(x+8\right)\right]\left[\left(x-2\right)\left(x+4\right)\right]+25x3\)

\(M=4\left(x^2+7x-8\right)\left(x^2+2x-8\right)+\left(5x\right)^2\)

Đặt \(a=x^2+7x-8\Rightarrow x^2+2x-8=a-5x\)

\(\Rightarrow M=4a\left(a-5\right)+\left(5x\right)^2=\left(4a\right)^2-20a+\left(5x\right)^2=\left(4a-5x\right)^2\)

Thế \(a=x^2+7x-8\) vào , ta được :

\(M=\left(2a^2+9x-16\right)^2\)

Bạn Võ Thạch Đức Tín giải đúng nhưng sai một vài chỗ rồi, mình sửa lại nha.

Dòng thứ hai từ trên xuống : 25x3 sửa thành 25x²

Dòng thứ năm từ trên xuống : 4a ( a - 5 ) thành 4a.( a - 5x ), ( 4a )² thành ( 2a ) ² và - 20x thành -20ax 

=> M =  4a.( a - 5 ) + ( 5x ) ² = ( 2a ) ² - 20x + ( 5x )² = ( 2a - 5x )² 

Vì chỗ này sai nên kết quả phải sửa lại thành :

M =  ( 2x² + 14x  - 16 - 5x )²

    = ( 2x² + 9x - 16 )²

Tìm ra được đến đây rồi nhưng bạn chưa chứng minh được M không âm

Bổ sung

Vì ( 2x² + 9x - 16 )² > 0 với mọi x

=> M > 0

Vậy M luôn không âm

\(M=4\left(x^2+2x-8\right)\left(x^2+7x-8\right)+25x^2\)

Đặt y = x² + 4,5x - 8, ta có:

\(M=4\left(y-2,5x\right)\left(y+2,5x\right)+25x^2\)

\(=4y^2-25x^2+25x^2=4y^2\ge0\forall x\in R\)

Tóm lại, M không có giá trị âm (đpcm)

co gi pm nha buon ngu qua

\(A=\left(x^2+1\right)^4+9\left(x^2+1\right)^3+21\left(x^2+1\right)^2-\left(x^2+1\right)-30\)

Ta thấy  \(x^2+1\ge1>0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x^2+1\right)^2\ge\left(x^2+1\right)\forall x\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)^2-\left(x^2+1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow A=\left(x^2+1\right)^4+9\left(x^2+1\right)^3+20\left(x^2+1\right)^2+\left(x^2+1\right)^2-\left(x^2+1\right)-30\)

\(\ge1^4+9.1^4+20.1^2+0-30=0\)

\(\Rightarrow Min.A=0\Leftrightarrow x^2+1=1\Leftrightarrow x=0\)

Vậy A luôn không âm với mọi giá trị của biến.

3b : Ta có : \(P=2x\left(x+y-1\right)+y^2+1=2x^2+2xy-2x+y^2+1\)

\(=x^2+2xy+y^2+x^2-2x+1=\left(x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2\)

Vậy biểu thức luôn nhận giá trị ko âm với mọi x ; y 

Ta có: \(P=\frac{x^4+x^3+x+1}{x^4-x^3+2x^2-x+1}=\frac{x^3\left(x+1\right)+\left(x+1\right)}{x^4-x^3+x^2+x^2-x+1}=\frac{\left(x^3+1\right)\left(x+1\right)}{x^2\left(x^2-x+1\right)+\left(x^2-x+1\right)}\)

                                                                                                                   \(=\frac{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{\left(x+1\right)^2\left(x^2-x+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\)

Vì \(\hept{\begin{cases}x^2+1\ge1>0\\x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\end{cases}}\)

Nên mẫu số luôn luôn khác 0

Do đó: \(P=\frac{\left(x+1\right)^2\left(x^2-x+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=\frac{\left(x+1\right)^2}{x^2+1}\)

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2\ge0\\x^2+1>0\end{cases}\left(\forall x\right)}\) nên \(P\ge0\left(\forall x\right)\)

\(P=\frac{x^4+x^2+x+1}{x^4-x^2+2x^2-x+1}=\frac{\left(x+1\right)^2\left(x^2-x+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\)

Do \(\left(x^2+1\right)\left(x^2-x+1\right)\ne0\)do đó không cần điều kiện của x

Vậy \(P=\frac{\left(x+1\right)^2\left(x^2-x+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=\frac{\left(x+1\right)^2}{x^2+1}\)

\(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\\x^2+1>0\forall x\end{cases}\Rightarrow P\ge0\forall x}\)

\(TH1:\left\{{}\begin{matrix}x>0\\y>0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{3}x^4y^3< 0\\-\dfrac{3}{5}x^3y^4< 0\\\dfrac{1}{2}xy^3>0\end{matrix}\right.\)

\(TH2:\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\y< 0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{3}x^4y^3>0\\-\dfrac{3}{5}x^3y^4>0\\\dfrac{1}{2}xy^3>0\end{matrix}\right.\)

\(TH3:\left\{{}\begin{matrix}x>0\\y< 0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{3}x^4y^3>0\\-\dfrac{3}{5}x^3y^4< 0\\\dfrac{1}{2}xy^3< 0\end{matrix}\right.\)

\(TH4:\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\y>0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{3}x^4y^3< 0\\-\dfrac{3}{5}x^3y^4>0\\\dfrac{1}{2}xy^3< 0\end{matrix}\right.\)

Vậy ....