a: AE+EB=AB

BF+FC=BC

CG+GD=CD

DH+HA=DA

mà AB=BC=CD=DA và AE=BF=CG=DH

nên EB=FC=GD=HA

Xét ΔEAH vuông tại A và ΔGCF vuông tại C có

EA=GC

AH=CF

Do đó: ΔEAH=ΔGCF

=>EH=GF

Xét ΔEBF vuông tại B và ΔGDH vuông tại D có

EB=GD

BF=DH

Do đó: ΔEBF=ΔGDH

=>EF=GH

Xét ΔEAH vuông tại A và ΔFBE vuông tại B có

EA=FB

AH=BE

Do đó: ΔEAH=ΔFBE

=>EH=EF và \(\widehat{AEH}=\widehat{BFE}\)

\(\widehat{AEH}+\widehat{HEF}+\widehat{BEF}=180^0\)

=>\(\widehat{BFE}+\widehat{BEF}+\widehat{HEF}=180^0\)

=>\(\widehat{HEF}+90^0=180^0\)

=>\(\widehat{HEF}=90^0\)

Xét tứ giác EHGF có

EF=GH

EH=GF

Do đó: EHGF là hình bình hành

Hình bình hành EHGF có EF=EH

nên EHGF là hình thoi

Hình thoi EHGF có \(\widehat{HEF}=90^0\)

nên EHGF là hình vuông

b: 

AH+HD=AD

=>AH+1=4

=>AH=3(cm)

ΔAEH vuông tại A

=>\(AE^2+AH^2=EH^2\)

=>\(EH^2=3^2+1^2=10\)

=>\(EH=\sqrt{10}\left(cm\right)\)

EHGF là hình vuông

=>\(S_{EHGF}=EH^2=10\left(cm^2\right)\)

Đặt AE=x

=>BF=CG=DH=x

=>BE=CF=DG=AH=a-x

\(S_{EFGH}=EH\cdot EF=x\left(a-x\right)\)=a*x-x^2

Để S lớn nhất thì ax-x^2 lớn nhất

=>-x^2+ax-1/4a^2+1/4a^2 lớn nhất

=>-(x-1/2a)^2+1/4a^2 lớn nhất

=>x=1/2a

=>E,F,G,H lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA

có bài tham khảo đây

1.Tứ giác ABCD có E,F,G,H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì, vì sao? 
2.Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng: 
a)AI//CK 
b)DM=MN=NB 
3.Cho hình bình hành ABCD, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD. Gọi M, P, N lần lượt là giao điểm của AF và CE với BD 
a)Chứng minh DM=MN=NP 
b)Chứng minh tứ giác EMFN là hình bình hành 
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và AD, Chứng minh 3 đường thẳng IJ, MN, EF đồng quy tại 1 điểm

Bài làm

Bài 1: 
Kẻ đường chéo AC 
có E,F,G,H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA 
suy ra EF là đường trung bình của tam giác ABC nên EF//=1/2AC (1) 
GH là đường trung bình của tam giác ADC nên GH//=1/2AC (2) 
Từ (1) và (2) suy ra EF//=GH nên EFGH là hình bình hành 
Vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau 

Bài 2) 
a) AK=1/2AB; CI=1/2CD 
mà AB//=CD nên AK//=CI suy ra 
AKCI là hình bình hành 
do đó AI//CK 
b) Xét tam giác CDN 
có I là trung điểm CD mà IM//CN 
nên M là trung điểm DN hay DM=MN (3) 
(Theo định lý đường thẳng đi qua một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba) 
Tương tự xét tam giác ABM cũng có BN=MN (4) 
Từ (3) và (4) suy ra DM=MN=NB 

Bài 3) 
Câu a) làm ý như câu b) bài 2) 
bâu b) chứng minh giống ý a bài 2 ta được AECF là hình bình hành 
nên AF//CE => FM//EN (5) 
Tam giác ABM=tam giác CDN (cgc) suy ra AM=CN 
mà EN=1/2AM (t/c đường trung bình của tam giác) 
FM=1/2 NC (t/c đường trung bình của tam giác) 
do đó EN=MF (6) 
từ (5) và (6) suy ra EMFN là hình bình hành. 
câuc) I và J lần lượt là trung điểm của BC và AD 
nên IJ đi qua trung điểm của EF (7) 
MN và EF là hai đường chéo của hình bình hành ENFM nên MN đi qua trung điểm của EF (8) 
Từ (7) và (8) suy ra 3 đường thẳng IJ, MN, EF đồng quy tại 1 điểm 
Bạn hỏi dài quá. lần sau mỗi lần hỏi thì chỉ nên ghi 1 câu thôi, người trả lời đỡ ngại 
và bạn nhanh chóng có được đáp án. 
Chúc bạn học giỏi.

k mk nhé

Câu trả lời hay nhất:  số các số có chữ số hàng chục trùng với chữ số hàng đơn vị : 9 số ( tương ứng với 9 chữ số 1, 2,...., 9 ) 

nếu chữ số hàng chục là x thì số các số có hàng chục là x và có số hàng đơn vị nhỏ hơn cũng là x ( vì số các số tự nhiên liều trước của 1 số, kể cả số 0 bằng chính số đó ) 

vậy nên số các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 ( số ) 
vậy có tất cả 45 tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị

AE=BF=CG=DH

=>EB=FC=DG=HA

Xét ΔAEH vuông tại A và ΔBFE vuông tại B có

AE=BF

AH=BE

=>ΔAEH=ΔBFE
=>EH=EF

Xét ΔBEF vuông tại B và ΔCFG vuông tại C có

BE=CF

BF=CG

=>ΔBEF=ΔCFG

=>EF=FG

Xét ΔFCG vuông tại C và ΔGDH vuông tại D có

CF=DG

CG=DH

=>ΔFCG=ΔGDH

=>FG=GH

=>EF=FG=GH=HE

ΔAHE=ΔBEF
=>góc AEH=góc BFE

=>góc AEH+góc BEF=90 độ

=>góc HEF=90 độ

Xét tứ giác EHGF có

EH=HG=GF=EF

góc HEF=90 độ

=>EHGF là hình vuông

AE=BF=CG=DH

=>EB=FC=DG=HA

Xét ΔAEH vuông tại A và ΔBFE vuông tại B có

AE=BF

AH=BE

=>ΔAEH=ΔBFE
=>EH=EF

Xét ΔBEF vuông tại B và ΔCFG vuông tại C có

BE=CF

BF=CG

=>ΔBEF=ΔCFG

=>EF=FG

Xét ΔFCG vuông tại C và ΔGDH vuông tại D có

CF=DG

CG=DH

=>ΔFCG=ΔGDH

=>FG=GH

=>EF=FG=GH=HE

ΔAHE=ΔBEF
=>góc AEH=góc BFE

=>góc AEH+góc BEF=90 độ

=>góc HEF=90 độ

Xét tứ giác EHGF có

EH=HG=GF=EF

góc HEF=90 độ

=>EHGF là hình vuông

a) Xét ΔABC có

E là trung điểm của AB(gt)

F là trung điểm của BC(gt)

Do đó: EF là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒EF//AC và \(EF=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

Xét ΔADC có

H là trung điểm của AD(gt)

G là trung điểm của CD(gt)

Do đó: HG là đường trung bình của ΔADC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒HG//AC và \(HG=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)

Từ (1) và (2) suy ra HG//EF và HG=EF

Xét ΔABD có 

E là trung điểm của AB(gt)

H là trung điểm của AD(gt)

Do đó: EH là đường trung bình của ΔABD(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒EH//BD và \(EH=\dfrac{BD}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

Ta có: EH//BD(cmt)

BD⊥AC(gt)

Do đó: EH⊥AC(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)

Ta có: HG//AC(cmt)

EH⊥AC(Cmt)

Do đó: HG⊥HE(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)

hay \(\widehat{EHG}=90^0\)

Xét tứ giác EHGF có 

HG//EF(cmt)

HG=FE(cmt)

Do đó: EHGF là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành EHGF có \(\widehat{EHG}=90^0\)(cmt)

nên EHGF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Ta có: EFGH là hình chữ nhật(cmt)

nên \(S_{EFGH}=EF\cdot EH\)

\(\Leftrightarrow S_{EFGH}=\dfrac{AC}{2}\cdot\dfrac{BD}{2}=\dfrac{10}{2}\cdot\dfrac{8}{2}=5\cdot4=20cm^2\)

Vậy: Diện tích tứ giác EFGH khi AC=10cm và BD=8cm là 20cm²

c) Hình chữ nhật EFGH trở thành hình vuông khi EH=HG

hay AC=BD

Vậy: Khi tứ giác ABCD có thêm điều kiện AC=BD thì EFGH trở thành hình vuông