a: Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{EAD}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật

hay AH=DE

Tam giác BDH vuông tại D có DI là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BH

⇒ DI = IB = 1/2 BH (tính chất tam giác vuông)

⇒ ∆ IDB cân tại I ⇒ ∠ (DIB) = 180 0  - 2. ∠ B (1)

Tam giác HEC vuông tại E có EK là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền HC.

⇒ EK = KH = 1/2 HC (tính chất tam giác vuông) .

⇒  ∆ KHE cân tại K ⇒  ∠ (EKH) =  180 0 - 2. ∠ (KHE) (2)

Tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên:

HE // AD hay HE // AB ⇒  ∠ B =  ∠ (KHE) (đồng vị)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:  ∠ (DIB) =  ∠ (EKH)

Vậy DI // EK (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).

   a) Tứ giác ADHE có:

∠AEH = ∠ADH = ∠HAE = 90⁰ (gt)

⇒ ADHE là hình chữ nhật

⇒ AH = DE

b) BHD vuông tại D

I là trung điểm của HB (gt)

⇒ ID = IH = BH : 2

⇒ ∆IDH cân tại I

⇒ ∠IDH = ∠IHD

⇒ ∠HID = 180⁰ - (∠IDH + ∠IHD)

= 180⁰ - 2∠IHD (1)

∆CEH vuông tại E

K là trung điểm HC (gt)

⇒ KE = KC = HC : 2

⇒ ∆KEC cân tại K

⇒ ∠KEC = ∠KCE

⇒ ∠CKE = 180⁰ - (∠KEC + ∠KCE)

= 180⁰ - 2∠KEC (2)

Do HD ⊥ AB (gt)

AC ⊥ AB (gt)

⇒ HD // AC

⇒ ∠IHD = ∠KCE (đồng vị)

⇒ 2∠IHD = 2∠KCE (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ ∠CKE = ∠HID

Mà ∠CKE và ∠HID là hai góc đồng vị

⇒ DI // KE

a: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

b: ΔHDB vuông tại D

mà DI là đường trung tuyến

nên \(DI=IH=IB\)

Xét ΔIHD có IH=ID

nên ΔIHD cân tại I

=>\(\widehat{IHD}=\widehat{IDH}\)

mà \(\widehat{IHD}=\widehat{HCA}\)(hai góc đồng vị, HD//AC)

nên \(\widehat{IDH}=\widehat{HCA}\)

ADHE là hình chữ nhật

=>\(\widehat{EAH}=\widehat{EDH}\)

=>\(\widehat{EDH}=\widehat{HAC}\)

\(\widehat{IDE}=\widehat{IDH}+\widehat{EDH}\)

\(=\widehat{HAC}+\widehat{HCA}\)

\(=90^0\)

=>DI\(\)\(\perp\)DE

c: ΔCEH vuông tại E

mà EK là đường trung tuyến

nên EK=KH=KC

Xét ΔKEH có KE=KH

nên ΔKEH cân tại K

=>\(\widehat{KEH}=\widehat{KHE}\)

mà \(\widehat{KHE}=\widehat{CBA}\)(hai góc đồng vị, HE//AB)

nên \(\widehat{KEH}=\widehat{CBA}=\widehat{HBA}\)

ADHE là hình chữ nhật

=>\(\widehat{HAD}=\widehat{HED}\)

=>\(\widehat{HED}=\widehat{HAB}\)

\(\widehat{KED}=\widehat{KEH}+\widehat{DEH}\)

\(=\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90^0\)

=>KE\(\perp\)DE

Ta có: KE\(\perp\)DE

ID\(\perp\)KE

Do đó: ID//KE

Xét tứ giác KEDI có

KE//DI

KE\(\perp\)ED

Do đó: KEDI là hình thang vuông

d: DI=1cm

mà HB=2DI

nên HB=2*1=2=2cm

EK=4cm

mà CH=2EK

nên \(CH=2\cdot4=8cm\)

BC=BH+CH

=2+8

=10cm

Xét ΔABC có AH là đường cao

nên \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot10=30\left(cm^2\right)\)

Xét tứ giác AEHD, có:
∠A = ∠E = ∠D = 90°
=> tứ giác AEHD là hình chữ nhật.

O là giao điểm hai đường chéo hcn AEHD
=> OD = OH (1).

DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của Δ vuông DHB
=> DI = 1/2 BH = IH (2).

Xét Δ IDO và Δ IHO, có:
OD = OH (1).
OI là cạnh chung.
DI = IH (2).
=> Δ IDO = Δ IHO (đpcm).

(bồ xem thử ổn hông nhe).