Ta có: \(\hept{\begin{cases}AM=MB=MC\\MB=\frac{1}{2}BC\left(MB+MC=BC;BM=MC\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}BC\)

Xét \(\Delta ABC\) có:

\(AM=\frac{1}{2}BC\left(cmt\right)\) 

\(\Rightarrow\Delta ABC\)vuông tại \(A\left(đpcm\right)\)

XétΔABC có

AM là đường trung tuyến

AM=BC/2

Do đó: ΔABC vuông tại A

Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến

AM=BC/2

Do đó: ΔABC vuông tại A(Định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến

AM=BC/2

Do đó: ΔABC vuông tại A(Định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

XétΔABC có

AM là đường trung tuyến

AM=BC/2

Do đó: ΔABC vuông tại A

XétΔABC có

AM là đường trung tuyến

AM=BC/2

Do đó: ΔABC vuông tại A

Ta có M là trung điểm BC và MB = MC = MA (đề bài)

=> AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC và = 1/2 BC

Mà cái này chỉ có trong tam giác vuông

=> tam giác ABC vuông tại A

\(MA=MB\Rightarrow\Delta MAB\)cân tại \(M\)

suy ra \(\widehat{MAB}=\widehat{MBA}\).

Tương tự ta cũng suy ra \(\widehat{MCA}=\widehat{MAC}\)

\(\widehat{ABC}=\widehat{MAC}+\widehat{MAB}=\widehat{MCA}+\widehat{MBA}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\frac{180^o}{2}=90^o\).

Do đó ta có đpcm.

e tham khảo bài tại link này : 

http://www.toaniq.com/chung-minh-tinh-chat-duong-trung-tuyen-cua-tam-giac-vuong/