Cho a,b,c là các số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k sao cho ba số nguyên \(a^k+bc,b^k+ac,c^k+ab\) có ít nhất một ước nguyên tố chung.

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu Sn = 1!+2!+···+n!. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho Sk có ít nhất một ước nguyên tố lớn hơn 3^2019

 3 số nguyên dương được gọi là đồng dạng nếu hoặc chúng có ước chung từng đôi một khác 1, hoặc chúng nguyên tố cùng nhau từng đôi một. CMR với 6 số nguyên dương tùy ý luôn tồn tại ít nhất một bộ ba số đồng dạng

 Một tập hợp  các số nguyên dương được gọi là tập hương nếu tập hợp đó có ít nhất 2 phần tử và mỗi phần tử của nó đều có ước nguyên tố chung với ít nhất một trong các phần tử còn lại . Đặt P(n)=n²+n+1. Hãy tìm số nguyên dương b nhỏ nhất sao cho tồn tại số không âm a để tập hợp  {P(a+1);P(a+2);...;P(a+b)} là tập hương.

Cho các số nguyên dương a, b thảo mãn ab+1 là số chính phương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương c sao cho ac+1 và bc+1 đều là các số chính phương

Cho các số nguyên dương a,b thỏa mãn ab+1 là số chính phương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương c sao cho ac+1 và bc+1 cùng là số chính phương

Cho các số p=b^c +a, q= a^b+ c, k= c^a+ b (a,b,c nguyên dương) là các số nguyên tố. Chứng minh rằng 3 số p,q,k có ít nhất hai số bằng nhau.

cho 6 số tự nhiên liên tiếp chứng minh rằng

a,trong 6 số đã cho không tồn tại 2 số mà Ước chung của chúng lớn hơn bằng 6

b,có ít nhất 1 số nguyên tố

Chứng minh rằng không tồn tại 5 số nguyên dương phân biệt sao cho tổng ba số bất kì trong chúng là một số nguyên tố.