Ta có: \(a^3-19a=a^3-a-18a=a\left(a^2-1\right)-18a\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)-18a\)

Ta thấy a; a - 1; a + 1 là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp; mà tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6 \(\Rightarrow a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮6\).

Ngoài ra; 18a cũng chia hết cho 6 \(\Rightarrow a^3-19a⋮6\)

Bạn ơi đề bài thiếu điều kiện a thuộc Z kìa

A = a.(a^2 - 1) = (a-1).a.(a+1)

Ta thấy a-1;a;a+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có ít nhất 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3

=> (a-1).a.(a+1) chia hết cho 6 [ vì (2;3)=1 ]

Đề bị lỗi hiển thị hay sao ấy, mình không nhìn thấy BĐT/ đẳng thức bạn muốn chứng minh.

Áp dụng bổ đề:

\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

Ta có:

\(\dfrac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\dfrac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}+\dfrac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\)

\(\le\dfrac{20b^3-ab\left(a+b\right)}{ab+5b^2}+\dfrac{20c^3-bc\left(b+c\right)}{bc+5c^2}+\dfrac{20a^3-ca\left(c+a\right)}{ac+5a^2}\)

\(=\dfrac{b\left(4b-a\right)\left(5b+a\right)}{ab+5b^2}+\dfrac{c\left(4c-b\right)\left(5c+b\right)}{bc+5c^2}+\dfrac{a\left(4a-c\right)\left(5a+c\right)}{ac+5a^2}\)

\(=4b-a+4c-b+4a-c=3\left(a+b+c\right)\)

Pls tìm trước khi hỏi $$\dfrac{19b^3-a^3}{ab+5^2}+\dfrac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}+\dfrac ...

Cho a,b,c>0.Cm:(19b^3-a^3)/(ab+5b^2)+ - Trường Toán Pitago – Hướng dẫn ...

C/m bất đẳng thức khó cho hsg

C/m bất đẳng thức khó cho hsg | Diễn đàn HOCMAI - Cộng đồng học tập ...

Cho a,b,c >0 và a+b+c=1.CMR (19b^3-a^3)/(ba+5b^2)+(19c^3-b^3)/(cb ...

Câu hỏi của Anh đẹp traiii - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Học tại nhà - Toán - Chứng minh đẳng thức

Bất đẳng thức - K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ ...

Bất đẳng thức

Đề thi HSG 12 THPT An Lão, Hải Phòng - Diễn Đàn MathScope

giúp tớ bài toán Cm 9 này với! hu hu!? | Yahoo Hỏi & Đáp

VMF,HMF,k2pi, mathscope,... đủ cả

Chuẩn hóa: a+b+c=3k

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{a}{k}+\dfrac{b}{k}+\dfrac{c}{k}=3\)

Đặt (\(\dfrac{a}{k};\dfrac{b}{k};\dfrac{c}{k}\))\(\Rightarrow\left(x;y;z\right)\);x+y+z=3

ĐPCM\(\Leftrightarrow\)\(\sum\dfrac{19y^3-x^3}{xy+5y^2}\le3\left(x+y+z\right)\)

Ta CM BĐT:

\(\dfrac{19y^3-x^3}{xy+5y^2}\le4y-x\Leftrightarrow-\dfrac{\left(y-x\right)^2\left(x+y\right)}{xy+5y^2}\le0\)(đúng)

CMTT\(\Rightarrow\)ĐPCM

\(+\frac{20b^3-\left(a^3+b^3\right)}{ab+5b^2}\le\frac{20b^3-ab\left(a+b\right)}{ab+5b^2}=\frac{b\left(20b^2-a^2-ab\right)}{b\left(a+5b\right)}=\frac{\left(4b-a\right)\left(a+5b\right)}{a+5b}=4b-a\)

( áp dụng bđt : \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) ( biến đổi tương đương là c/m đc ) )

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b\)

+ Tương tự : \(\frac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}\le4c-b\) Dấu "=" <=> b = c

\(\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\le4a-c\) Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=c\)

Cộng vế theo vế ta có đpcm. Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

\(4\left(a+5b\right)+\left(19a+3b\right)=23a+23b⋮23\)

Mà \(a+5b⋮23\Rightarrow19a+3b⋮23\)

\(19a+5b+8.\left(10a+9b\right)=19a+5b+80a+72b=99a+77b⋮11\)

Mà \(19a+5b⋮11\Rightarrow8\left(10a+9b\right)⋮11\Rightarrow10a+9b⋮11\) (vì 8 và 11 là 2 số nguyên tố cùng nhau)