1.

Gọi G là trọng tâm tam giác

\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow O\equiv G\)

\(\Rightarrow O\) là trọng tâm tam giác ABC

\(\Rightarrow\Delta ABC\) đều

Gọi độ dài các cạnh tam giác là a

\(\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)=-\dfrac{1}{4}a^2-\dfrac{1}{8}a^2-\dfrac{1}{8}a^2+\dfrac{1}{2}a^2=0\)

Mặt khác \(\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{AM}=BN.AM.cos\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}\right)\)

\(\Rightarrow BN.AM.cos\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}\right)=0\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}\right)=0\Rightarrow\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}\right)=90^o\)

\(BD=\dfrac{AB}{cos45^o}=\dfrac{a}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=a\sqrt{2}\)

\(\overrightarrow{BQ}.\overrightarrow{BP}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right)\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}\right)\)

\(=\dfrac{1}{4}BA.BC.cos90^o+\dfrac{1}{4}BA.BD.cos45^o+\dfrac{1}{4}BD.BC.cos45^o+\dfrac{1}{4}BD^2\)

\(=\dfrac{1}{4}a^2+\dfrac{1}{4}a^2+\dfrac{1}{2}a^2=a^2\)

làm giúp mik nhé bao like mik cho luôn nhanh nha huhu

mình trả lời đc cái tam giác AOC = tam giác BOC thui à ;-;

(Bạn tự vẽ hình và coi lại đề giùm)

a/ Ta có \(\Delta ABC\)đều

=> Đường phân giác BD cũng đồng thời là đường cao của \(\Delta ABC\)

=> \(BD\perp AC\)(đpcm)

b/ Ta có \(\Delta ABC\)đều

=> Đường phân giác CE cũng đồng thời là đường cao của \(\Delta ABC\)

=> \(CE\perp AB\)(đpcm)

c/ Ta có O là giao điểm của hai đường phân giác BD và CE của \(\Delta ABC\)

Mà giao điểm của ba đường phân giác cũng là giao điểm của ba đường trung trực

Chứng minh: Tam giác đều là tam giác cân tại cả ba đỉnh

Mà trong tam giác cân, đường phân giác ứng với một cạnh cũng là đường trung trực ứng với cạnh đó

=> Trong tam giác đều, ba đường phân giác cũng là ba đường trung trực

=> Giao điểm của ba đường phân giác cũng là giao điểm ba đường trung trực (đpcm)

=> O là điểm cách đều ba cạnh của \(\Delta ABC\)=> OA = OB = OC (đpcm)

d/ Ta có O là giao điểm của hai đường phân giác BD và CE của \(\Delta ABC\)

=> OA là đường phân giác thứ ba của \(\Delta ABC\)

=> \(\widehat{BAO}=\widehat{OAC}=\frac{\widehat{BAC}}{2}\)

Mà \(\widehat{BAC}=60^o\)(\(\Delta ABC\)đều)

=> \(\widehat{OAC}=30^o\)

Chứng minh tương tự, ta cũng có: \(\widehat{ACO}=30^o\)

\(\Delta AOC\)có: \(\widehat{AOC}=180^o-\left(\widehat{OAC}+\widehat{OCA}\right)\)(tổng ba góc của một tam giác)

=> \(\widehat{AOC}=180^o-\left(30^o+30^o\right)\)

=> \(\widehat{AOC}=180^o-60^o=120^o\)