Question

1. Cho tam giác ABC có O là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\) và OA=OB=OC. Gọi M ,N ll là trung điểm của BC,AC . Tính số đo của \(\left(\overrightarrow{AM,}\overrightarrow{BN}\right)\)

2. Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng cạnh a . Gọi P,Q ll là trung điểm của CD,DA . Tính \(\overrightarrow{BQ}.\overrightarrow{BP}\)

Help me ! Tks 

Answer 1

1.

Gọi G là trọng tâm tam giác

\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow O\equiv G\)

\(\Rightarrow O\) là trọng tâm tam giác ABC

\(\Rightarrow\Delta ABC\) đều

Gọi độ dài các cạnh tam giác là a

\(\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)=-\dfrac{1}{4}a^2-\dfrac{1}{8}a^2-\dfrac{1}{8}a^2+\dfrac{1}{2}a^2=0\)

Mặt khác \(\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{AM}=BN.AM.cos\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}\right)\)

\(\Rightarrow BN.AM.cos\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}\right)=0\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}\right)=0\Rightarrow\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}\right)=90^o\)

Answer 2

\(BD=\dfrac{AB}{cos45^o}=\dfrac{a}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=a\sqrt{2}\)

\(\overrightarrow{BQ}.\overrightarrow{BP}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right)\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}\right)\)

\(=\dfrac{1}{4}BA.BC.cos90^o+\dfrac{1}{4}BA.BD.cos45^o+\dfrac{1}{4}BD.BC.cos45^o+\dfrac{1}{4}BD^2\)

\(=\dfrac{1}{4}a^2+\dfrac{1}{4}a^2+\dfrac{1}{2}a^2=a^2\)