BĐT ĐÚNG K BN

chac dung

Ta có: \(a^2+b^2-ab\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow a^3+20b^3\ge19b^3+ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow20b^3-ab\left(a+b\right)\)\(\ge19b^3-a^3\)

\(\Leftrightarrow b\left(20b^2-ab-a^2\right)\ge19b^3-a^3\)\(\Leftrightarrow b\left(20b^2-5ab+4ab-a^2\right)\ge19b^3-a^3\)

\(\Leftrightarrow b\left[5b\left(4b-a\right)+a\left(4b-a\right)\right]\ge19b^3-a^3\)

\(\Leftrightarrow b\left(5b+a\right)\left(4b-a\right)\ge19b^3-a^3\)\(\Leftrightarrow\left(5b^2+ab\right)\left(4b-a\right)\ge19b^3-a^3\)

\(\Leftrightarrow\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\le4b-a\)

Tương tự ta có: \(\frac{19c^3-b^3}{cb+5c^2}\le4c-b;\)\(\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\le4a-c\)

Cộng từng vế của các BĐT trên, ta được: 

\(\text{​​}\text{​​}\text{Σ}_{cyc}\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\le4\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=3\left(a+b+c\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

Cần chứng minh: \(\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\le4b-a\)

Thật vậy: \(\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\le4b-a\Leftrightarrow\left(4b-a\right)\left(ab+5b^2\right)-19b^3+a^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow4ab^2+20b^3-a^2b-5ab^2-19b^3+a^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)

"=" khi a=b

Tương tự: \(\frac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}\le4c-b;\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\le4a-c\)

Cộng theo vế: 

\(\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\frac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}+\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\le4b-a+4c-b+4a-c=3\left(a+b+c\right)=3\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1/3

trước hết ta cần chứng minh \(\frac{19b^3-a^3}{ab+5a^2}\le4b-a\left(1\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow19b^3-a^3\le\left(4b-a\right)\left(ab+5a^2\right)\left(ab+5a^2>0\right)\)

phá ngoặc và biến đổi thành bất đẳng thức quen thuộc\(a^3+b^3\ge\left(a+b\right)ab\)với a,b dương

để cm bất đẳng thức này ta cần biến đổi tương đương thành\(\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi a,b)

chứng minh tương tự ta có VT\(\le\)4b-a+4c-b+4a-c\(=\)3(a+b+c)

để tham khảo thêm bạn có thể vào toán học tuổi trẻ số 440

Áp dụng bổ đề:

\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

Ta có:

\(\dfrac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\dfrac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}+\dfrac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\)

\(\le\dfrac{20b^3-ab\left(a+b\right)}{ab+5b^2}+\dfrac{20c^3-bc\left(b+c\right)}{bc+5c^2}+\dfrac{20a^3-ca\left(c+a\right)}{ac+5a^2}\)

\(=\dfrac{b\left(4b-a\right)\left(5b+a\right)}{ab+5b^2}+\dfrac{c\left(4c-b\right)\left(5c+b\right)}{bc+5c^2}+\dfrac{a\left(4a-c\right)\left(5a+c\right)}{ac+5a^2}\)

\(=4b-a+4c-b+4a-c=3\left(a+b+c\right)\)

Pls tìm trước khi hỏi $$\dfrac{19b^3-a^3}{ab+5^2}+\dfrac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}+\dfrac ...

Cho a,b,c>0.Cm:(19b^3-a^3)/(ab+5b^2)+ - Trường Toán Pitago – Hướng dẫn ...

C/m bất đẳng thức khó cho hsg

C/m bất đẳng thức khó cho hsg | Diễn đàn HOCMAI - Cộng đồng học tập ...

Cho a,b,c >0 và a+b+c=1.CMR (19b^3-a^3)/(ba+5b^2)+(19c^3-b^3)/(cb ...

Câu hỏi của Anh đẹp traiii - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Học tại nhà - Toán - Chứng minh đẳng thức

Bất đẳng thức - K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ ...

Bất đẳng thức

Đề thi HSG 12 THPT An Lão, Hải Phòng - Diễn Đàn MathScope

giúp tớ bài toán Cm 9 này với! hu hu!? | Yahoo Hỏi & Đáp

VMF,HMF,k2pi, mathscope,... đủ cả

Chuẩn hóa: a+b+c=3k

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{a}{k}+\dfrac{b}{k}+\dfrac{c}{k}=3\)

Đặt (\(\dfrac{a}{k};\dfrac{b}{k};\dfrac{c}{k}\))\(\Rightarrow\left(x;y;z\right)\);x+y+z=3

ĐPCM\(\Leftrightarrow\)\(\sum\dfrac{19y^3-x^3}{xy+5y^2}\le3\left(x+y+z\right)\)

Ta CM BĐT:

\(\dfrac{19y^3-x^3}{xy+5y^2}\le4y-x\Leftrightarrow-\dfrac{\left(y-x\right)^2\left(x+y\right)}{xy+5y^2}\le0\)(đúng)

CMTT\(\Rightarrow\)ĐPCM

Ta có : \(a+b^2⋮a^2b-1\) suy ra \(a+b^2=k\left(a^2b-1\right)\left(k\in N^{sao}\right)\)

\(\Leftrightarrow a+k=b\left(ka^2-b\right)\) hay \(mb=a+b\left(1\right)\) với \(m=ka^2-b\in Z^+\)

\(\Leftrightarrow m+b=ka^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(mb-m-b+1=a+b-ka^2+1\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(b-1\right)=\left(a+1\right)\left(k+1-ka\right)\left(3\right)\)

Vì \(m,b\in Z^+\Rightarrow\left(m-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

Do đó từ (3) suy ra \(\left(a+1\right)\left(k+1-ka\right)\ge0\)

Lại vì a > 0 nên suy ra \(k+1-ka\ge0\Rightarrow1\ge k\left(a-1\right)\)

Vì \(a-1\ge0,k>0\) nên \(1\ge k\left(a-1\right)\ge0\)

Mà \(k\left(a-1\right)\in Z\)

\(\Rightarrow k\left(a-1\right)=0\) hoặc \(k\left(a-1\right)=1\)

=> a=1 hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\k=1\end{matrix}\right.\)

- Với a=1 thay vào (3) ta có:(m-1)(b-1)=2

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b-1=1\\m-1=2\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}b-1=2\\m-1=1\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}b=2\\m=3\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}b=3\\m=2\end{matrix}\right.\)

TH b=2,m=3 suy ra 5=ka² => a=1

TH b=3,m=2 => a=1

- Với a=1, k=1 thay vào (3): (m-1)(b-1)=0 <=> m=1 hoặc b=1

TH b=1 => a=2

TH m=1, từ (1) => a+k=b => b=3 => a=2

Vậy 4 cặp số (a;b) thỏa mãn là (1;2);(1;3);(2;3);(2;1)

Ta có: \(\frac{19a+3}{b^2+1}=\left(19a+3\right).\frac{1}{b^2+1}=\left(19a+3\right)\left(1-\frac{b^2}{b^2+1}\right)\)

\(\ge\left(19a+3\right)\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=\left(19a+3\right)\left(1-\frac{b}{2}\right)\)

\(=19a+3-\frac{19ab}{2}-\frac{3b}{2}\)(1)

Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\frac{19b+3}{c^2+1}\ge19b+3-\frac{19bc}{2}-\frac{3c}{2}\)(2); \(\frac{19c+3}{a^2+1}\ge19c+3-\frac{19ca}{2}-\frac{3a}{2}\)(3)

Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(A=\frac{19a+3}{b^2+1}+\frac{19b+3}{c^2+1}+\frac{19c+3}{a^2+1}\)\(\ge19\left(a+b+c\right)-\frac{3\left(a+b+c\right)}{2}-\frac{19\left(ab+bc+ca\right)}{2}+9\)

\(=\frac{35\left(a+b+c\right)}{2}-\frac{19\left(ab+bc+ca\right)}{2}+9\)

\(\ge\frac{35.\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}{2}-\frac{19.3}{2}+9=\frac{105}{2}-\frac{57}{2}+9=33\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.