\(\frac{y+1}{4x^2+1}=1-\frac{4x^2-y}{4x^2+1}\ge1-\frac{4x^2-y}{2\sqrt{4x^2.1}}=1+\frac{y}{4x}-x;\)

Tương tự ta được \(\frac{1+z}{4y^2+1}\ge1+\frac{z}{4y}-y\); \(\frac{1+x}{4z^2+1}\ge1+\frac{x}{4z}-z\)

cộng 3 bất đăng thức trên ta được p \(\ge3+\frac{1}{4}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\right)-\left(x+y+z\right)=\frac{3}{2}+\frac{1}{4}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\right)\ge\)\(\frac{3}{2}+\frac{1}{4}.3\sqrt[3]{\frac{y}{x}.\frac{z}{y}.\frac{x}{z}}=\frac{9}{4}\)

p min khi x=y=z = 1/2

bài 1 : a,ta có 3/x-1 =4/y-2=5/z-3 =>  x-1/3=y-2/4=z-3/5 

áp dụng .... => x-1+y-2+z-3 / 3+4+5 = x+y+z-1-2-3/3+4+5 = 12/12=1

do x-1/3 = 1 => x-1 = 3 => x= 4 ( tìm y,z tương tự

Bài 1: 

a) Ta có: 3/x - 1 = 4/y - 2 = 5/z - 3 => x - 1/3 = y - 2/4 = z - 3/5 áp dụng ... =>x - 1 + y - 2 + z - 3/3 + 4 + 5 = x + y + z - 1 - 2 - 3/3 + 4 + 5 = 12/12 = 1 do x - 1/3 = 1 => x - 1 = 3 => x = 4 ( tìm y, z tương tự )

cũng dễ thôi

đỗ thị cẩm ly dạng này thì lớp 9 mới chính thức học,nhưng lớp 7 có thể đưa về những dạng quen thuộc để giải ạ.Vd: tìm x để biểu thức y nguyên

                                                  Lời giải

Theo đề bài,với x = 1 suy ra \(0y=3\) (vô lí)

Xét \(x\ne1\),chia hai vế của đẳng thức cho x - 1,được:

\(y=\frac{x^2+2}{x-1}=\frac{x^2-1^2}{x-1}+\frac{3}{x-1}\)

\(=\left(x+1\right)+\frac{3}{x-1}\)(dùng đẳng thức:\(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\) ,tự chứng minh,sẽ ra được kết quả này)

Do x + 1 nguyên (với mọi x thuộc Z),nên để y thuộc Z(tức là y nguyên ấy)

Thì \(\frac{3}{x-1}\inℤ\Rightarrow x-1\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

Suy ra \(x\in\left\{-2;0;2;4\right\}\).Thay từng giá trị của x vào \(y=\frac{x^2+2}{x-1}\) sẽ tìm được y (lưu ý đk y nguyên)

Đầu tiên,xét bài toán phụ: CMR: \(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)
Thật vậy,ta có: \(a^2-b^2=\left(a^2+ab\right)-\left(ab+b^2\right)\)

\(=a\left(a+b\right)-b\left(a+b\right)=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

Trở lại bài toán,ta có \(y\left(x-1\right)-x^2=2\) (chuyển vế)

Thêm 1² vào mỗi vế và áp dụng quy tắc dấu ngoặc:

\(y\left(x-1\right)-\left(x^2-1^2\right)=3\)

\(\Leftrightarrow y\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\left(x+1\right)=3\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-x-1\right)=3\) 

Dễ dàng nhận xét rằng \(x-1;y-x-1\inƯ\left(3\right)\)

Xét bốn trường hợp:

TH1: \(\hept{\begin{cases}x-1=-3\\y-x-1=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\y=-2\end{cases}}\)

TH2: \(\hept{\begin{cases}x-1=-1\\y-x-1=-3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=-2\end{cases}}\)

TH3: \(\hept{\begin{cases}x-1=1\\y-x-1=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\end{cases}}\)

TH4; \(\hept{\begin{cases}x-1=3\\y-x-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=6\end{cases}}\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left\{\left(-2;-2\right),\left(0;-2\right),\left(2;6\right),\left(4;6\right)\right\}\)

tth  a có cách giải pt nghiệm nguyên này. Cũng khá hay

\(x^2+2=y\left(x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{x^2+2}{x-1}\)

Vì y nguyên nên \(\frac{x^2+2}{x-1}\)nguyên

Khi đó : \(\left(x^2+2\right)⋮\left(x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-x+x-1+3\right)⋮\left(x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[x\left(x-1\right)+\left(x-1\right)+3\right]⋮\left(x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x-1\right)\left(x+1\right)+3\right]⋮\left(x-1\right)\)

Vì \(\left(x-1\right)\left(x+1\right)⋮\left(x-1\right)\)

\(\Rightarrow3⋮\left(x-1\right)\)

\(\Rightarrow x-1\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{2;0;4;-2\right\}\)

Xét bảng :

Vậy (x;y)={(2;6),(0;-2),(4;6),(-2;-2)}

nhầm đề không?

(tớ thấy lạ nên hỏi vậy thôi chứ không chắc là làm được)

@coldwin

x; y; z vai trò giống nhau => đk x;y; z đôi một khác nhau

=> x;y;z là ba nghiệm của phương trình P^3 -3P +1 = 0

áp dụng viet (hàm bậc 3) \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=0\\c=-3\\d=1\end{matrix}\right.\)

có \(\left\{{}\begin{matrix}P_1+P_2+P_3=\dfrac{-b}{a}=0\\P_1.P_2+P_2.P_3+P_1.P_3=\dfrac{c}{a}=-3\end{matrix}\right.\)

<.=> \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=0\\x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=-3\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2-\left(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3\right)=0\\x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=-3\end{matrix}\right.\)

<=>x^2 +y^2 +z^2 =-2.(-3) =6 => dpcm

x;y; vai trò như nhau đôi một khác nhau => x;y;z là nghiệm của pt

P^3 -3P +1 =0

theo vi ét hàm bậc 3 ta có

x+y+z =-b/a =0 (1)

xy+xz+yz =c/a =-3 (2)

(1) bình phương thay 2 vào

=> x^2 +y^2 +z^2 =-2.(-3) =6

=> dpcm

Áp dụng BĐt bu-nhi-a, ta có 

\(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{2-z^2}+z\sqrt{3-x^2}\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(6-x^2-y^2-z^2\right)}\)

Áp dụng BĐt cô-si, ta có 

\(\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(6-x^2-y^2-z^2\right)}\le\frac{x^2+y^2+z^2+6-x^2-y^2-z^2}{2}=3\)

=> VT <=VP 

Dấu = xảy ra là của BĐT cô-si và bu-nhi-a, 

Bạn tự tìm nhá, t nhác làm tiếp lắm 

^^