A = (n + 2015)(n + 2016) + n² + n

= (n + 2015)(n + 2015 + 1) + n(n + 1)

Tích 2 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2

=> (n + 2015)(n + 2015 + 1) chia hết cho 2

      n(n + 1) chia hết cho 2

=> (n + 2015)(n + 2015 + 1) + n(n + 1) chia hết cho 2

=> A chia hết cho 2 với mọi n \(\in\) N (đpcm)

Do 2015^2016 lẻ nên 2015^2016-1 và 2015^2016+1 chẵn nên chia hết cho 2 do đó A chia hết cho 4

Ta có 3 số nguyên lên liếp 2015^2016-1; 2015^2016 và 2015^2016+1 luôn có 1 số chia hết cho 3

Do 2015 ko chia hết cho 3 nên 2015^2016 ko chia hết cho 3

Nên 2015^2016-1 hoặc 2015^2016+1 chia hết cho 3 

Suy ra A chia hết cho 3

Mà A chia hết cho 4 nên A sẽ chia hết cho 3.4=12

Vậy A chia hết cho 12

2014 đồng dư với -1(mod 2015)

=>2014²⁰¹⁵ đồng dư với (-1)²⁰¹⁵=-1(mod 2015)

2016 đồng dư với 1(mod 2015)

=>2016²⁰¹³ đồng dư với 1(mod 2015)

=>2014²⁰¹⁵+2016²⁰¹³ đồng dư với -1+1=0(mod 2015)

=>2014²⁰¹⁵+2016²⁰¹³ chia hết cho 2015

=>đpcm 

\(2014^{2015}+2016^{2013}=\left(2015-1\right)^{2015}+\left(2015+1\right)^{2013}=2015^{2015}+2015^{2013}=2015.\left(2015^{2014}+2015^{2012}\right)\)

chia hết cho 2015 

Bạn vào câu hỏi tương tự nha !!!

\(2015^{2017}+2017^{2015}=\left(2015^{2017}+1\right)+\left(2017^{2015}-1\right)=A\left(2015+1\right)+B\left(2017-1\right)=2016A+2016B=2016\left(A+B\right)\)Luôn chia hết cho 2016

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Có hai trường hợp về bài toán này

n là số lẻ và n là số chẵn

*Với n là số lẻ

Vì 2015 là số lẻ nên 2015²⁰¹⁶ là số lẻ cộng cho n là số lẻ thỉ sẽ ra số chẵn(chia hết cho 2)

Vậy với n là số lẻ ta được (n+2015²⁰¹⁶ ).(n+2016²⁰¹⁵ ) chia hết cho 2

*Với n là số chẵn

Vì 2016 là số chẵn nên 2016²⁰¹⁵ là số chẵn cộng cho n là số chẵn thì sẽ ra số chẵn(chia hết cho 2)

Vậy với n là số chẵn ta được (n+2015²⁰¹⁶ ).(n+2016²⁰¹⁵ )chia hết cho 2