Bài a, 
[(9²)^10]-[(3*9)^13]-(9)^21 
[(9^20)(1-9)]-[(3*9)^13] 
[(9^20)*(-8)]-[(3*9)^13] 
[(9^20)*(-8)]-[(3^13)(9^13)] 
[(9^13)*[(-8)*(9^7)-(3^13)] 
[(9^13)*[(-8)(3^14)-(3^13)] 
[(9^13)*[(-8)*(3)*(3^13)-(3^13)] 
[(9^13)*[(3^13)*(-24-1)] 
(3^26)*(3^13)*(-25) 
(3^39)*(-25) 
-(3^37)*(3^2)*(25) 
-(3^37)*(225) 

Đáp số: 
Số đã cho là bội số (âm) của 225 nên chia hết cho 225 

  Đặt Un = 16^n-15n-1 
- Xét n = 1 , ta có : U1 = 16^1 - 15*1 - 1 =0 chia hết cho 225 
- Giả sử Un chia hết cho 225 với n = k nào đó ( k >=1), tức là : Uk = 16^k -15k -1 chia hết cho 225 
Giờ ta chỉ cần chứng minh U[k + 1] = 16^(k + 1 ) -15(k + 1) -1 chia hết cho 225 là được 
**Thật vậy ta có 16^(k + 1 ) -15(k + 1) -1 = 16*16^k - 15k - 15 - 1 = 16^k -15k -1 + 15*16^k -15=Uk + 15(16^k -1) (1) Ở đây, đã có Uk chia hết cho 225 rồi, ta thấy chỉ cần chứng minh 16^k -1 chia hết cho 15 nữa là được 
_________________- 

Với việc chứng minh Vk = 16^k - 1 chia hết cho 15 
- Xét k = 1 , ta có V1 = 15 chia hết cho 15 
- Giả sử Vk chia hết cho 15 với k = h nào đó (h>= 1), tức là Vh = 16^h -1 chia hết cho 15 
Giờ ta chỉ cần chứng minh V[h + 1] = 16^(h + 1) - 1 chia hết cho 15 là được 
*** Thật vậy tacó 16^(h+1) - 1 = (16^h)*16 - 1 = 16^h - 1 + 15*16^h = Vh + 15*16^h chia hết cho 15 (2) 

______________ 

Vậy từ (1) và (2) ta có được điều phãi chứng minh

16 đồng dư với 1(mod 15)

=>16ⁿ đồng dư với 1(mod 15)

=>16ⁿ-1 đồng dư với 0(mod 15)

=>16ⁿ-1 chia hết cho 15

mà 15n chia hết cho 15

=>16ⁿ-15n-1 chia hết cho 15(đpcm)

Với n=1 thì 16ⁿ – 15n – 1 = 16 – 15 – 1 = 0 ⋮ 225

 Giả sử 16^k – 15k – 1 ⋮ 225

 Ta chứng minh 16^k+1 – 15(k+1)  – 1 ⋮ 225

Thực vậy: 16^k+1 – 15(k+1) – 1 = 16.16^k – 15k – 15 – 1

= (16^k – 15k – 1) + 15.16^k – 15

Theo giả thiết qui nạp 16^k – 15k – 1 ⋮ 225

Còn 15.16^k – 15 = 15(16^k – 1) ⋮ 15.15 = 225

Kết luận: Vậy 16ⁿ – 15n – 1 ⋮ 225.

a)Ta có: abc\(⋮\)37 => 100.abc \(⋮\)37 => abc00 \(⋮\)37

=> (ab.1000 +  c00) \(⋮\)37

=>[ab.999 + ( c00  + ab) ] \(⋮\)37

=>( ab . 99 + cab) \(⋮\)37

mà ab.999 = ab .27 .37 \(⋮\)37

=> cab \(⋮\)37

Vậy nếu abc \(⋮\)37 thì cab \(⋮\)37

b)1+3+5+7+9+...+(2x-1)=225

Với mọi x \(\in\)N, ta có 2x - 1 là số lẻ

Ta đặt A = 1 + 3 + 5 + 7 + 9+...+ (2x-1)=225

=> A là tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến (2x -1)

Số số hạng của A là:

[(2x - 1 - 1) : 2 + 1 = x (số hạng)

=> A= [(2x - 1) + 1] . x : 2 = x²

Mà A= 225 => x ² = 225 = 15²

\(\Rightarrow x=15\)

225=15 mũ 2 

=> 2 [ 7 (m+n)2 +2mn] chia hết cho 15 mũ 2

=>14 + mn2 +4mn chia hết cho 15 mũ 2

=>14 (m+n)2 +[(m+n)2 -(m-n)2] chia hết cho 15 mũ 2 

=>15(m+n)2 - (M-n)2 chia hết cho 15 mũ 2 

vì 15(m+n)2 chia hết cho 15 mũ 2 => 15(m-n)2 chia hết cho 15 mũ 2

=>{m-n)2 chia hết cho 3 <=>{ m - n chia hết cho 3

     {(m-n)2 chia hết cho 5 <=> m-n chia hết cho 5

mà 3,5 =1=> m-n chia hết cho 15

=>(m-n)2 chia hết cho 15 mũ 2

tương tự (m+n)2 chia hết cho 15 mũ 2

=> mn chia hết cho 225

a) Với \(n\in N\Rightarrow2^{4n}-1=16^n-1=\left(16-1\right).\left(16^{n-1}+16^{n-2}+...+1\right)\)

\(=15.\left(16^{n-1}+16^{n-2}+...+1\right)⋮15\)

b) Với \(n\in N\Rightarrow16^n-15n-1=\left(16^n-1\right)-15n\)

mà \(\left(16^n-1\right)⋮15\left(cma\right);15n⋮15\)

\(\Rightarrow16^n-15n-1⋮15\)

225=15²

=> \(2\left[7\left(m+n\right)^2+2mn\right]⋮15^{^2}\)

\(\Leftrightarrow14\left(m+n\right)^2+4mn⋮15^2\)

\(\Leftrightarrow14\left(m+n\right)^2+\left[\left(m+n\right)^2-\left(m-n\right)^2\right]⋮15^2\)

\(\Leftrightarrow15\left(m+n\right)^2-\left(m-n\right)^2⋮15^2\)

Vì \(15\left(m+n\right)^2⋮15\Rightarrow\left(m-n\right)^2⋮15\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-n\right)^2⋮3\\\left(m-n\right)^2⋮5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-n⋮3\\m-n⋮5\end{matrix}\right.\)

mà (3,5)=1 => (m-n)\(⋮\)15

=> (m-n)^2\(⋮\)15²

Tương tự 15(m+n)^2\(⋮\)15²

=> mn \(⋮\)225