B = (n^4-3n^3)+(2n^3-6n^2)+(7n-21) = (n-3).(n^3+2n^2+7)

Để B là số nguyên tố => n-3 = 1 hoặc n^3+2n^2+7 = 1

=> n=4 hoặc n^3+2n^2+6=0

=> n=4 ( vì n^3+2n^2+6 > 0 )

Khi đó : B = 4^4-4^3-6.4^2+7.4-21 = 103 là số nguyên tố (tm)

Vậy n = 4

k mk nha

1.

\(5=3xy+x+y\ge3xy+2\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(3\sqrt{xy}+5\right)\le0\Rightarrow xy\le1\)

\(P=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)+\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}-\sqrt{9-5xy}\)

\(P=\dfrac{\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2-2xy+x+y+2}{x^2y^2+\left(x+y\right)^2-2xy+1}-\sqrt{9-5xy}\)

Đặt \(xy=a\Rightarrow0< a\le1\)

\(P=\dfrac{\left(5-3a\right)^3-3a\left(5-3a\right)+\left(5-3a\right)^2-2a+5-3a+2}{a^2+\left(5-3a\right)^2-2a+1}-\sqrt{9-5a}\)

\(P=\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{2}.2\sqrt{9-5a}\)

\(P\ge\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{4}\left(4+9-5a\right)\)

\(P\ge\dfrac{-29a^3+161a^2-277a+145}{4\left(5a^2-16a+13\right)}=\dfrac{\left(1-a\right)\left(29a^2-132a+145\right)}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\)

\(P\ge\dfrac{\left(1-a\right)\left[29a^2+132\left(1-a\right)+13\right]}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\ge0\)

\(P_{min}=0\) khi \(a=1\) hay \(x=y=1\)

Hai phân thức của P rất khó làm gọn bằng AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz (nó hơi chặt)

2.

Đặt \(A=9^n+62\)

Do \(9^n⋮3\) với mọi \(n\in Z^+\) và 62 ko chia hết cho 3 nên \(A⋮̸3\)

Mặt khác tích của k số lẻ liên tiếp sẽ luôn chia hết cho 3 nếu \(k\ge3\)

\(\Rightarrow\) Bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi \(k=2\)

Do tích của 2 số lẻ liên tiếp đều không chia hết cho 3, gọi 2 số đó lần lượt là \(6m-1\)  và \(6m+1\)

\(\Leftrightarrow\left(6m-1\right)\left(6m+1\right)=9^n+62\)

\(\Leftrightarrow36m^2=9^n+63\)

\(\Leftrightarrow4m^2=9^{n-1}+7\)

\(\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-\left(3^{n-1}\right)^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-3^{n-1}\right)\left(2m+3^{n-1}\right)=7\)

Pt ước số cơ bản, bạn tự giải tiếp

 B1: n² + 6n + 8 = n² + 4n + 2n + 8 = n(n+4) + 2(n+4) = (n+2)(n+4)

Vì n+2 < n+4 => n + 2 = 1 => n = -1

=> A = 3 nguyên tố, thoả

B2: x + y + xy = 2

=> x(y+1) + (y+1) = 3

=> (x+1)(y+1) = 3

Ta có:

        Vậy (x,y) = .....................

B3: a : b = c dư r

=> 112 : b = 5 dư r

=> 112 : 5 = b dư r

=> 112 - r chia hết cho 5 và r < 5

=> r = 2 => b = 22

Câu 1 bạn dùng chia hết cho 13

Câu 2 bạn cộng cả 2 vế với z^4 rồi dùng chia 8

Câu 3 bạn đặt a^4n là x thì x sẽ chia 5 dư 1 và chia hết cho 4 hoăc chia 4 dư 1

Khi đó ta có x^2+3x-4=(x-1)(x+4)

đến đây thì dễ rồi

Câu 4 bạn xét p=3 p chia 3 dư 1 p chia 3 dư 2 là ra

Câu 6 bạn phân tích biểu thức của đề thành nhân tử có nhân tử x-2

Câu 5 mình nghĩ là kẹp giữa nhưng chưa ra

Cảm ơn bạn Ninh Đức Huy.

Câu 1:

Có  \(5^{2n^2-6n+2^{ }}=25^{n^2-3n+1}\)

xét 2 th

th1 n chẵn: n^2-3n+1 sẽ lẻ

th2 n lẻ:n^2-3n+1 cũng lẻ

Như vậy n^2-3n+1 lẻ với mọi n

ta sẽ dùng btp a^n+1 chia hết cho a+1 với n lẻ

Bài toán chính:

\(25^{n^2-3n+1}-12=25^{n^2-3n+1}+1-13\)

Dùng bài toán phụ trên có \(25^{n^2-3n+1}+1\)chia hết cho 26 hay cũng chia hết cho 13

Mà \(25^{n^2-3n+1}-12\)là số nguyên tố 

Như vậy 25\(25^{n^2-3n+1}-12=13\)

Từ đây tìm n thôi

Câu 2 dễ rồi mình bỏ qua 

Câu 3 Có a^4 chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1

Và a^4 chia 5 dư 1 với a không chia hết cho 5(đây là tính chất đơn giản bạn có thể tự xây dựng được)

nên đặt a^4n là x nghĩa là ta phải chứng minh x^2+3x-4 chia hết cho 100

x^2+3x-4=(x-1)(x+4)

mà x chia 5 dư 1 nên x-1 và x+4 đều chia hết cho 5

nghĩa là (x-1)(x+4) chia hết cho 25(*)

Mà x chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1

nên (x-1)(x+4) sẽ chia hết cho 4(**)

Từ (*) và (**) ta có đpcm

Câu 4 mình thấy khá dễ nên bạn có thể tự làm được

Câu 5 mình chịu

Câu 6 mình thấy cũng dễ 

Chúc bạn thi tốt!