a) Xét (O) có

MA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)

MB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

Do đó: MA=MB(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét (O) có

MA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)

MB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

Do đó: MO là tia phân giác của \(\widehat{AMB}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

nên \(\widehat{AMB}=2\cdot\widehat{AMO}\)(1)

Xét ΔOAM vuông tại A có 

\(\sin\widehat{AMO}=\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{R}{2\cdot R}=\dfrac{1}{2}\)

hay \(\widehat{AMO}=30^0\)(2)

Thay (2) vào (1), ta được: \(\widehat{AMB}=60^0\)

Xét ΔAMB có MA=MB(cmt)

nên ΔAMB cân tại M(Định nghĩa tam giác cân)

Xét ΔAMB cân tại M có \(\widehat{AMB}=60^0\)(cmt)

nên ΔAMB đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

ai giúp mk vs

+ Ta có: AB là tiếp tuyến của (O)(gt)

nên AB\(\perp\)OB  

=> \(\Delta\)OBA vuông tại B(đpcm)

+ Xét \(\Delta\)OAK Có A₁=A₂  ( 1 ) (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

OK // AB => A₁ = O₁ ( 2 ) (so le trong)

Từ (1, 2) => (đpcm)

b, Xét \(\Delta\)AKO cân tại K (cmt)

IA = IO (=R)

=> KI là đường trung tuyến \(\Delta\)AKO

=> KI cũng là đường cao

=> KI\(\perp\)AO  hay KM \(\perp\)IO  

Vậy KM là tiếp tuyến của (O) (đpcm)

c, MI = MB ; KI = KC ; AB = AC ( t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau )

Xét \(\Delta\)ABO vuông tại B (cmt) 

AD định lí Py ta go ta cs : 

AO² =AB²  + OB²​

AB² = AO² - OB²

AB² = 4R² - R²

AB = \(R\sqrt{3}\)

dễ rùi tự lm tiếp 

ta có OK vuông góc với AB(giả thiết)

OB vuông góc với AB(tính chất tiếp tuyến)

do đó OK//Ob =>góc AOK=gócBAO

mà góc BAO= góc OAK (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

nên góc AOK=góc OAK

hay tam giác AKO cân tại K

a: góc KOA+góc BOA=90 độ

góc KAO+góc COA=90 độ

mà góc BOA=góc COA

nên góc KOA=góc KAO

=>ΔKAO cân tại K

b: Xét ΔOBA vuông tại B có sin BAO=OB/OA=1/2

nên góc BAO=30 độ

=>góc BOA=60 độ

Xét ΔOBI có OB=OI và góc BOI=60 độ

nên ΔOBI đều

=>OI=OB=1/2OA=R

=>I là trung điểm của OA

ΔKAO cân tại K

mà KI là trung tuyến

nên KI vuông góc với OI

=>KI là tiếp tuyến của (O)

a) Xét \(\Delta\)AOB vuông tại B có 

\(\cos\widehat{AOB}=\dfrac{OB}{OA}\)(Tỉ số lượng giác góc nhọn)

\(\Leftrightarrow\cos\widehat{AOB}=\dfrac{R}{2\cdot R}=\dfrac{1}{2}\)

hay \(\widehat{AOB}=60^0\)

Vậy: \(\widehat{AOB}=60^0\)

b) Ta có: ΔOBA vuông tại B(OB⊥BA)

nên \(\widehat{AOB}+\widehat{BAO}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)

hay \(\widehat{BAO}=30^0\)

Xét (O) có 

AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)

Do đó: AO là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒\(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\)

hay \(\widehat{CAO}=30^0\)

Ta có: \(\widehat{CAO}+\widehat{MAO}=\widehat{MAC}\)(Vì tia AO nằm giữa hai tia AM,AC)

hay \(\widehat{MAO}=60^0\)

Xét ΔMOA có 

\(\widehat{MAO}=60^0\)(cmt)

\(\widehat{MOA}=60^0\)(\(\widehat{AOB}=60^0\))

Do đó: ΔMOA đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

⇒MA=MO(đpcm)

c) Ta có: ΔOBA vuông tại B(OB⊥BA)

mà BI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OA(I là trung điểm của OA)

nên \(BI=\dfrac{OA}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(AI=\dfrac{OA}{2}\)(I là trung điểm của OA)

nên BI=AI(1)

Ta có: ΔOCA vuông tại C(OC⊥CA)

mà CI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OA(I là trung điểm của OA)

nên \(CI=\dfrac{OA}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(AI=\dfrac{AO}{2}\)(I là trung điểm của OA)

nên CI=AI(2)

Từ (1) và (2) suy ra IA=IB=IC

hay I là giao điểm 3 đường trung trực của ΔABC

Xét (O) có 

AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)

Do đó: AB=AC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: \(\widehat{BAC}=\widehat{BAO}+\widehat{CAO}\)(tia AO nằm giữa hai tia AB,AC)

hay \(\widehat{BAC}=60^0\)

Xét ΔABC có AB=AC(cmt)

nên ΔABC cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)

Xét ΔABC cân tại A có \(\widehat{BAC}=60^0\)(cmt)

nên ΔABC đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

Xét ΔABC đều có I là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác(cmt)

mà trong tam giác đều, giao điểm 3 đường trung trực cũng chính là giao điểm của 3 đường phân giác(Định lí tam giác đều)

nên I là giao điểm của 3 đường phân giác trong ΔBAC

hay I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC(đpcm)

a) Do AB là tiếp tuyến của (O) (GT) => OB vuông góc với AB (ĐL)

Mà OB vuông góc với ON (GT) => AB // ON (từ vuông góc -> //) hay AM // ON

Cm tương tự => AN // OM

Do 2 tiếp tuyến AB và AC cắt nhau tại A (GT) =>  OA phân giác góc BAC (t/c tiếp tuyến) hay OA phân giác góc MAN

Xét tứ giác AMON có: AM // ON, AN // OM, OA phân giác góc MAN (cmt) => AMON là hình thoi (dhnb)

b) Đặt I là trung điểm OA => OI = OA/2 = 2R/2 = R hay OI là bán kính của (O)

Do AMON là hình thoi (cmt) => OA vuông góc với MN tại I (t/c) hay OI vuông góc với MN tại I

Mà OI là bán kính của (O) => MN là tiếp tuyến của (O) (định lý)

c)  Xét tam giác OAB có OA vuông góc với AB (cmt) \(\Rightarrow\sin OAB=\frac{OB}{AB}=\frac{1}{2}\)  => góc OAB = 30^o => góc ION = 30^o (so le)

Xét hình thoi AMON có OA cắt MN tại I (cmt) => I là trung điểm MN (t/c) hay IN = IM = MN/2

Xét tam giác ION có góc OIN = 90^o, góc ION = 30^o(cmt) \(\Rightarrow OI=IN.\cos ION=\frac{MN}{2}.\cos30^o\Rightarrow MN=\frac{4.OI}{\sqrt{3}}=\frac{4R}{\sqrt{3}}\)

\(S_{AMON}=\frac{1}{2}.OA.MN=\frac{1}{2}.2R.\frac{4R}{\sqrt{3}}=\frac{4R^2}{\sqrt{3}}\)

b: Xét (O) có

AB là tiếp tuyến

AC là tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

hay A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

nên O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA⊥BC