Để PT có nghiệm khi \(2009y^{2010}\) lẻ \(\Rightarrow y^{2010}\)lẻ Hay \(y\) lẻ

\(\Rightarrow y^2\equiv1\left(mod4\right)\)\(\Rightarrow2009y^{2010}\equiv1\left(mod4\right)\)

Mà \(2008x^{2009}\equiv0\left(mod4\right)\) nên \(2008x^{2009}+2009y^{2010}\equiv1\left(mod4\right)\)

Mà \(2011\equiv3\left(mod4\right)\) 

\(\Rightarrow2008x^{2009}+2009y^{2010}\ne2011\forall x;y\in Z\)

Vậy PT vô nghiệm nguyên

- Nếu y chẵn thì với mọi x thuộc Z có 2008x²⁰⁰⁹ + 2009y²⁰¹⁰ là số chẵn; mà 2011 là số lẻ, (vô lý)

- Nếu y lẻ thì y¹⁰⁰⁵ là số lẻ. Đặt y¹⁰⁰⁵ = 2k + 1 ( k thuộc Z )                                             

 2009y²⁰¹⁰ = 2009(y¹⁰⁰⁵)² = 2009(2k + 1)² = 2009(4k² + 4k + 1) = 4[2009(k² + k)] + 2009

Ta có 2009y²⁰¹⁰ chia cho 4 dư 1  2008x²⁰⁰⁹ + 2009y²⁰¹⁰ chia cho 4 dư 1; mà 2011 chia cho 4 dư 3, (vô lý)

Vậy không có các số nguyên x, y nào thỏa mãn  hệ thức :2008x²⁰⁰⁹ + 2009y²⁰¹⁰ = 2011.   

Ta có:

\(x^2+xy-2008x-2009y-2010=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+xy+x-2009x-2009y-2009=1\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+y+1\right)-2009\left(x+y+1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(x-2009\right)=1\)

Xét trường hợp:

\(\left(1\right)\left\{{}\begin{matrix}x-2009=1\\x+y+1=1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2010\\y=-2010\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\left\{{}\begin{matrix}x-2009=-1\\x+y+1=-1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2008\\y=-2010\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(2010;-2010\right);\left(2008;-2010\right)\)

                  \(x^2+xy-2008x-2009y-2010=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2+xy+x-2009x-2009y-2009=1\)

\(\Leftrightarrow\)        \(x\left(x+y+1\right)-2009\left(x+y+1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\)                           \(\left(x-2009\right)\left(x+y+1\right)=1\)

\(\Rightarrow\)\(\left(x-2009\right)=1\)và  \(\left(x+y+1\right)=1\)\(\Rightarrow\)\(x=2010;y=-2010\)

và     \(\left(x-2009\right)=-1\) và \(\left(x+y+1\right)=-1\)\(\Rightarrow\)\(x=2008;y=-2010\).

\(=2009\times2009-2008\times2009+2008\)

\(=2009\times\left(2009-2008\right)+2008\)

\(=2009\times1+2008\)

\(=4017\)