Áp dụng bất đăng thức Cô-si cho 3 số dương a,b,c:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\);    \(b+c\ge2\sqrt{bc}\);  \(c+a\ge\sqrt{ca}\)

Nhân các vế của BĐT \(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c => tam giác đó đều

bạn vào câu hỏi tương tự ấy !!! Nó để là tam giác đều !!!

tink cho minh nhe

link này có bài tương tự

https://olm.vn/hoi-dap/detail/231888113278.html

\(VT=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ab}+\dfrac{c^2}{ac+bc}\)

\(VT\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

\(\Rightarrow\) Tam giác là tam giác đều

\(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=8\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=8\)

Ta có (a +b)² >=4ab với mọi a,b>0. Dấu = xảy ra <=> a = b

(b+c)² >=4bc, với mọi b,c >0. Dấu = xảy ra <=> b = c

(c+a)² >=4ca, với mọi a,b>0. Dấu = xảy ra <=> c = a

=> (a+b)²(b+c)²(c+a)² >=64a²b²c² (a,b,c >0)

=> (a+b)(b+c)(c+a) >=8abc => (a+b)(b+c)(c+a)/abc >=8

Dấu = xảy ra <=> a = b = c <=> Tam giác đều

a = float(input("Nhap a : "))
b = float(input("Nhap b : "))
c = float(input("Nhap c : "))
if a+b>c and a+c>b and b+c>a:
    if a==b or a==c or b==c:
        if a==c==b:
            print("Day la ba canh cua tam giac deu")
        else:
            print("Day la ba canh cua tam giac can")
    elif (a**2)+(b**2)==c**2 or (a**2)+(c**2)==b**2 or (c**2)+(b**2)==a**2:
        print("Day la ba canh cua tam giac vuong")
    else:
        pass
else:
    print("Day khong phai ba canh cua tam giac")

thực hiện trừ 2 vế ta (vế trái cho vế phải) ta được 

(a+b+c).(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=0

nên hoặc a+b+c=0 hoặc nhân tử còn lại bằng 0

mà a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác nên a+b+c>0

vậy a²+b²+c²-ab-bc-bc-ca=0

đặt đa thức đó bằng A

A=0 nên 2xA=0

phân tích thành hằng đẳng thức ta có (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0

nên a=b=c vậy là tam giác đều

mình nghĩ là tam giác đều

\(a^3+b^3+c^3-3abc\)\(=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3-3a^2b-3ab^2+c^3-3abc=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right).\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right).\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right).\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)

Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a,b,c đều lớn hơn 0

\(\Rightarrow a+b+c\ne0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)

\(\Rightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)                          \(\left(1\right)\)

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\\\left(c-a\right)^2\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(với mọi a,b,c)

Để được (1) thì:

\(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a=b=c\)( tam giác đều) \(\left(\text{Đ}PCM\right)\)

\(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(c+b\right)\left(a+c\right)}{abc}=8\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2\left(c+b\right)^2\left(a+c\right)^2}{a^2b^2c^2}=64\)

Ta có

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(c+b\right)^2\ge4cb;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)

\(\frac{\left(a+b\right)^2\left(c+b\right)^2\left(a+c\right)^2}{a^2b^2c^2}\ge64\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)=> Đó là tam giác đều

Ta có: \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)

         \(\Rightarrow\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{a+c}{c}=8\)

        \(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=8\)

        \(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=8abc\)

        \(\Rightarrow a^2b+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2+bc^2+2abc=8abc\)

        \(\Rightarrow a^2b+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2+bc^2-6abc=0\)

        \(\Rightarrow\left(ab^2-2abc+ac^2\right)+\left(a^2b-2abc+bc^2\right)+\left(a^2c-2abc+b^2c\right)=0\)

        \(\Rightarrow a\left(b^2-2bc+c^2\right)+b\left(a^2-2ac+c^2\right)+c\left(a^2-2ab+b^2\right)=0\)

        \(\Rightarrow a\left(b-c\right)^2+b\left(a-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2=0\)(1)

Vì a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nên a, b, c > 0 ⁽²⁾

Do đó \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a\left(b-c\right)^2\ge0\\b\left(a-c\right)^2\ge0\\c\left(a-b\right)^2\ge0\end{cases}}\)(3)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\left(b-c\right)^2=\left(a-c\right)^2=\left(a-b\right)^2=0\)

                        \(\Rightarrow\left(b-c\right)=\left(a-c\right)=\left(a-b\right)=0\)

                        \(\Rightarrow a=b=c\)

Vậy a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác đều

=> 2(a^2 + b^2 + c^2) = 2 ( ab + bc +ca) 

=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac 

=> a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc+ c^2 + c^2 - 2ac + a^2 = 0

=> ( a- b)^2 + ( b-  c)^2 + ( c -a )^2 = 0 

Vì ( a- b)^2>=0  (1)

   ( b - c)^2 >= 0 (2)

     ( c -a )^2 >= 0  (3)

Từ (1)(2) và (3) => ( a- b)^2 + ( b-  c)^2 + ( c -a )^2 = 0 khi 

a - b = 0 và b - c = 0 và c - a = 0 

=> a = b  và b = c  và c = a 

=> a= b =c 

VẬy là tam giác đều ĐÁp ấn C

a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca=>2(a^2+b^2+c^2)=2(ab+ac+ca)

2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0.

a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+c^2=0

(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0. => (a-b)^2=0 => a-b=0 => a=b

(b-c)^2=0 => b-c=0 => b=c

(c-a)^2=0 => c-a=0 =>c=a. Vậy a=b=c. Do đó tam giác đó là tam giác đều => C là đáp án đúng

Ta có; \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Mà \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(b-c\right)^2\ge0;\left(c-a\right)^2\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c}\)

Vậy...