+) Định nghĩa của sin α; cos α

Trên đường tròn lượng giác, xét cung AM có số đo α

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên trục Ox, Oy.

Tung độ y = OK¯ của điểm M được gọi là sin của α : sin α = OK¯

Hoành độ x = OH¯ của điểm M được gọi là cos của α : cos α = OH¯

Trên đường tròn lượng giác trong mặt phẳng Oxy, lấy điểm A (1; 0) làm gốc.

Khi đó các cung có số đo hơn kém nhau một bội của 2π có điểm cuối trùng nhau.

Giả sử cung α có điểm cuối là M(x; y)

Khi đó với mọi k ∈ Z thì cung α + k2π cũng có điểm cuối là M.

sin α = y, sin (α + k2π) = y nên sin(α + k2π) = sinα

cos α = x, cos(α + k2π) = x nên cos(α + k2π) = cosα

a: pi/2<a<pi

=>sin a>0

\(sina=\sqrt{1-\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)

\(sin\left(a+\dfrac{pi}{6}\right)=sina\cdot cos\left(\dfrac{pi}{6}\right)+sin\left(\dfrac{pi}{6}\right)\cdot cosa\)

\(=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{2}\cdot-\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{6}-2}{2\sqrt{3}}\)

b: \(cos\left(a+\dfrac{pi}{6}\right)=cosa\cdot cos\left(\dfrac{pi}{6}\right)-sina\cdot sin\left(\dfrac{pi}{6}\right)\)

\(=\dfrac{-1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\)

c: \(sin\left(a-\dfrac{pi}{3}\right)\)

\(=sina\cdot cos\left(\dfrac{pi}{3}\right)-cosa\cdot sin\left(\dfrac{pi}{3}\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\)

d: \(cos\left(a-\dfrac{pi}{6}\right)\)

\(=cosa\cdot cos\left(\dfrac{pi}{6}\right)+sina\cdot sin\left(\dfrac{pi}{6}\right)\)

\(=\dfrac{-1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{-\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\)

sin ( 270 ο   +   α )   =   sin ( 360 ο   -   ( 90 ο   -   α ) )   =   - sin ( 90 ο   -   α )   =   - cos α

sin ( 270 ο   -   α )   =   sin ( 360 ο   -   ( 90 ο   +   α ) )   =   - sin ( 90 ο   +   α )   =   - cos α

Vì \(\dfrac{\pi}{2}< \alpha< \pi\) \(\Rightarrow\) cos \(\alpha\) < 0

\(\Rightarrow\) cos \(\alpha\) = \(-\sqrt{1-sin^2\alpha}\) = \(-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)

\(\Rightarrow\) tan \(\alpha\) = \(\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\dfrac{-\sqrt{2}}{4}\)

\(\Rightarrow\) cot \(\alpha\) = \(\dfrac{1}{tan\alpha}\) = \(-2\sqrt{2}\)

Chúc bn học tốt!