Đáp án A

Gọi I là hình chiếu của O trên BC, H là hình chiếu của O trên AI.

Suy ra d = OH

OA = 2OB=3OC =3a

Tính được 

Đáp án D

Ta có:  V O . A B C = 1 6 O A . O B . O C = 6 ⇒ O C = 3

Lại có  1 d O ; A B C 2 = 1 O A 2 + 1 O B 2 + 1 O C 2 ⇒ d O ; A B C = 12 41

Chọn D

Ta có \(OA \bot OB,OA \bot OC \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right);BC \subset \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\)

Trong (OBC) kẻ \(OD \bot BC\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow BC \bot \left( {OAD} \right);BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {OAD} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {OAD} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AD\end{array}\)

Trong (OAD) kẻ \(OE \bot AD\)

\( \Rightarrow OE \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = OE\)

Xét tam giác OBC vuông tại O có

\(\frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} = \frac{3}{{4{a^2}}} \Rightarrow OD = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)

Xét tam giác OAD vuông tại O có

\(\frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}} = \frac{7}{{4{a^2}}} \Rightarrow OE = \frac{{2a\sqrt 7 }}{7}\)

Vậy \(d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{2a\sqrt 7 }}{7}\)

Đáp án D

Gọi H là hình chiếu của O xuống (ABC) 

Ta có:  1 O H 2 = 1 a 2 + 1 2 a 2 + 1 a 3 2 = 19 12 a 2 ⇒ O H = 2 a 3 19

Đáp án D

Từ giả thiết ta thấy  và OBC là tam giác vuông nên thể tích cần tìm là:

V_O.ABC =  1 3 OA.S_OBC =  1 6 OA.OB.OC =  abc 6

Chọn D

Từ giả thiết suy ra: ΔABC cân tại A có:

Gọi I là trung điểm của BC  ⇒ A I ⊥ B C

Giả sử H là trực tâm của tam giác ABC.

Ta thấy  O A ⊥ O B C

Vì  O B ⊥ O A C ⇒ O B ⊥ A C và  A C ⊥ B H nên  A C ⊥ O B H ⇒ O H ⊥ A C   ( 1 )

B C ⊥ O A I ⇒ O H ⊥ B C   ( 2 )

Từ (1) và (2) suy ra  O H ⊥ A B C

Có  O I = 1 2 B C = a 2 2 = O A

=> ΔAOI vuông cân tại O => H là trung điểm AI và  O H = 1 2 A I = a 2

Khi đó: