N = ( 19n + 17 ) : ( 7n + 11 ) 
=(14n+22-5)/(7n+11) = 2 + ( 5n - 5 ) / ( 7n + 11 ) 
với mọi n tự nhiên 
5n-5<7n+11=>(5n-5)/(7n+11)<1 
=>S={} 

Tham khảo: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24

a) Đặt phân số trên là M

Để M là số tự nhiên thì

19n+7 chia hết cho 7n+11

<=>7(19n+7)-19(7n+11) chia hết cho 7n+11

<=>133n+49-133n-209 chia hết cho 7n+11

<=>-160 chia hết cho 7n+11

\(\Leftrightarrow7n+11\in\left\{1;2;4;5;8;10;16;20;32;40;80;160;-1;-2;-4;-5;-8;-10;-16;-20;-32;-40;-80;-160\right\}\)

Mà n là số tự nhiên

=> 7n+11\(\ge\)11

Vậy các giá trị của 7n+11 là 16;20;32;48;80;160

Mặt khác 7n+11 chia 7 dư 4

=> Các giá trị 16;20;48;80;160 bị loại vì chia 7 có số dư \(\ne\)4

=> 7n+11=32

=>n=3

Vậy khi n=3 thì M=2

b)   P là số nguyên tố lớn hơn 3

=> P không chia hết cho 2 cho 3 

Ta có :P không chia hết cho 2

=> P-1 và P+1 là 2 số chẵn liên tiếp => (P-1)(P+1) chia hết cho 8 (1)

Mặt khác vì  P không chia hết cho 3

=>p=3k+1 hoặc 3k+2

Nếu P= 3k +1

=>P-1 =3k +0chia hết cho 3 => (P-1)(P+1) chia hết cho 3

Nếu P= 3k+2

=> P+1=3k +3 chia hết cho 3 => (P-1)(P+1) chia hết cho 3

=> Với mọi p là só nguyên tố lớn hơn 3 thì (p+1)(p-1) chia hết cho 3 (2)

Từ (1)(2)=>(P-1)(P+1) chia hết cho 8 và 3

Mà (8;3)=1

=>(P-1)(P+1) chia hết cho 8x3=24 (đpcm)

Có: \(A=\frac{19n+7}{7n+11}\)

\(\Leftrightarrow7A=\frac{7\cdot\left(19n+7\right)}{7n+11}=\frac{7\left(19n+209-202\right)}{7n+11}=\frac{19\left(7n+11\right)-202\cdot7}{7n+11}=19-\frac{1414}{7n+11}\)

Mà \(A\in N\Leftrightarrow7A\in N\Leftrightarrow7n+11\inƯ\left(1414\right)=\left\{2;101;7\right\}\)

#)Giải :

Đặt \(A=\frac{19n+7}{7n+11}\)

Để n là số tự nhiên => 19n + 7 chia hết cho 7n + 11

\(\Leftrightarrow7\left(19n+7\right)-19\left(7n+11\right)⋮7n+11\)

\(\Leftrightarrow133n+49-133n-209⋮7n+11\)

\(\Leftrightarrow-160⋮7n+11\)

\(\Leftrightarrow7n+11\in\left\{1;2;4;5;8;10;16;20;32;40;80;160\right\}\)\(\left\{-1;-2;-4;-5;-8;-10;-16;-20;-32;-40;-80;-160\right\}\)

Mà n là số tự nhiên 

\(\Rightarrow7n+11\ge11\)

Vậy còn lại các giá trị 16 ; 20 ; 32 ; 40 ; 80 ; 160

Vì các số trên phải chia hết cho 2 => loại các giá trị, còn lại 32

\(\Rightarrow7n+11=32\)

\(\Rightarrow n=3\)

Vậy, khi n = 3 thì A = 2 ( thỏa mãn )

Để \(\frac{19n+7}{7n+11}\)là số tự nhiên => ( 19n+7 ) \(⋮\)( 7n + 11) => 7( 19n + 7 ) \(⋮\)( 7n + 1)

Xét 7( 19n + 7) = 7 . 19n + 7 . 7 = 19 . 7n + 19 . 11 - 19 . 11 + 7 . 7 = 19( 7n + 11) - 160

=> 19( 7n + 11) - 160 \(⋮\)7n + 1

Mà 19 ( 7n + 11) \(⋮\)7n + 1                 => 160 \(⋮\)7n + 11

                                                             => 7n + 11 \(\in\)Ư(160)

Vì n \(\in\)N nên 7n + 11 \(\ge\)18

Ư(160) = { ...10 ; 16 ; 20 ; 32; ...; 160} => 7n + 11 = 20 ; 32 ; 40 ; 80 ; 160

Ta có bảng sau :

Vậy ...

Ta có:\(P=n^3-n^2+7n+10\)

\(=n^3-2n^2+n^2-2n-5n+10\)

\(=n^2\left(n-2\right)+n\left(n-2\right)-5\left(n-2\right)\)

\(=\left(n-2\right)\left(n^2+n-5\right)\)

Vì P là số nguyên tố nên 

\(n-2=1\Rightarrow n=3\)(nhận)

\(n^2+n-5=1\)\(\Rightarrow n^2+n-6=0\Rightarrow\left(n+3\right)\left(n-2\right)=0\Rightarrow n=-3\left(l\right);n=2\left(n\right)\)

Ta có:\(\hept{\begin{cases}n=3\Rightarrow P=7\left(n\right)\\n=2\Rightarrow P=0\left(l\right)\end{cases}}\)

Vậy n=3

\(P=n^3-n^2-7n+10=\left(n-2\right)\left(n^2+n-5\right)\)

- Với \(n-2< 0\Leftrightarrow n< 2\).

Bằng cách thử trực tiếp \(n=0,n=1\)thu được \(n=1\)thỏa mãn \(P=3\)là số nguyên tố. 

- Với \(n-2\ge0\)thì \(n-2\ge0,n^2+n-5>0\)khi đó \(P\)có hai ước tự nhiên là \(n-2,n^2+n-5\).

Để \(P\)là số nguyên tố thì: 

\(\orbr{\begin{cases}n-2=1\\n^2+n-5=1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=3\\n=2,n=-3\end{cases}}\)

Thử lại các giá trị trên thu được \(n=3\)thì \(P=7\)thỏa mãn. 

Vậy \(n=1\)hoặc \(n=3\).