Đáp án là B

Gọi H là trung điểm của AD. Do tam giác SAD là tam giác đều nên SH vuông góc với AD

Do mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SH vuông góc với BP(1)

Xét hình vuông ABCD ta có :

\(\Delta CDH=\Delta BCP\Rightarrow CH\perp BP\) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra \(BP\perp\left(SHC\right)\)

Vì \(\begin{cases}MN||SC\\AN||CH\end{cases}\) \(\Rightarrow\left(AMN\right)||\left(SHC\right)\)

\(\Rightarrow BP\perp\left(AMN\right)\Rightarrow BP\perp AM\)

Kẻ vuông góc với mặt phẳng (ABCD), K thuộc vào mặt phẳng (ABCD), ta có :

\(V_{CMNP}=\frac{1}{3}MK.S_{CNP}\)

Vì \(MK=\frac{1}{2}SH=\frac{a\sqrt{3}}{4};S_{CNP}=\frac{1}{2}CN.CP=\frac{a^2}{8}\)

\(\Rightarrow V_{CMNP}=\frac{\sqrt{3}a^2}{96}\)

Gọi I là trung điểm AD   \(\Rightarrow SI\perp AD\Rightarrow SI\left(ABCD\right)\Rightarrow d\left(I;\left(ABCD\right)\right)=SI\)

Ta có  \(SM\cap\left(ABCD\right)=\left\{B\right\}\)  và \(\frac{SB}{MB}=2\)  nên \(d\left(M;\left(ABCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(I;\left(ABCD\right)\right)=\frac{1}{2}SI=\frac{1}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)

\(S_{CNP}=\frac{1}{2}\cdot CN\cdot CP=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}CD\cdot\frac{1}{2}\cdot BC=\frac{a^2}{8}\)

\(V_{M.CNP}=\frac{1}{3}\cdot d\left(M;\left(ABCD\right)\right)\cdot S_{CNP}=\frac{a^3\sqrt{3}}{96}\)

Chọn C

Phương pháp:

+) Gắn hệ trục tọa độ.

Đáp án C.

Gọi H là trung điểm của AD 

Cho hệ trục tọa độ như hình vẽ => 

 Trung điểm MN là  có 

Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (ABCD)

=> d có vecto chỉ phương 

∆ NCM vuông tại C => I là tâm đường tròn ngoại tiếp

=> d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN

=> Tâm J của mặt cầu ngoại tiếp SCMN thuộc d

Ta có d qua  và  là vecto chỉ phương 

=> Bán kính 

Đáp án C

Gọi H là trung điểm của  A D ⇒ S H ⊥ ( A B C D ) ⇒ S H = a 3

Cho hệ trục tọa độ như hình vẽ  ⇒ D ( a ; 0 ; 0 ) , M ( 0 ; 2 a ; 0 ) , N ( a ; a ; 0 )

⇒  Trung điểm MN là I a 2 ; 3 a 2 ; 0  có  S 0 ; 0 ; a 3 , C a ; 2 a ; 0

Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với  (ABCD)

⇒ d có vecto chỉ phương   k   → = 0 ; 0 ; 1

∆ N C M  vuông tại C  là tâm đường tròn ngoại tiếp

⇒  d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN

⇒  Tâm J của mặt cầu ngoại tiếp SCMN thuộc d

Ta có d qua I a 2 ; 3 a 2 ; 0  và k   → = 0 ; 0 ; 1  là vecto chỉ phương ⇒ d : x = a 2 y = 3 a 2 z = t  

⇒ J a 2 ; 3 a 2 ; t  mà  J C = J S ⇒ a 2 2 + a 2 2 + t 2 = a 2 2 + 3 a 2 2 + a 3 - t 2

⇒ t = 5 a 3 6  Bán kính R = J C = 93 6 a .